Un théorème d’ε-régularité pour les minimizeurs de Griffith dans RN , sous condition de séparation

français

Seminar AMAC: EDP-AIRSEA-CVGI

2/03/2023 - 11:30 Camille Labourie (Université FAU Erlangen-Nürnberg) IMAG 106

La fonctionnelle de Griffith a été introduite par Francfort et Marigo pour modéliser les états d'équilibre d'une fracture dans un matériau fragile dans le cadre de l'élasticité linéaire.
La formule $\mathcal{G}$ donnée ci-dessous est un peu simplifiée.

Soit $\Omega$ un ouvert borné de $\mathbf{R}^N$, qui représente la configuration de référence (sans fracture) d'un solide homogène, fragile, isotrope.
On applique une déformation (constante au cours du temps) à la frontière du solide and on suppose que le solide subit seulement des déformations infinitésimales pour se placer dans le cadre de l'élasticité linéaire.
Francfort et Marigo formulent le problème comme la minimisation de l'énergie
\begin{equation*}
    \mathcal{G}(u,K) := \int_{\Omega \setminus K} \abs{e(u)}^2 \, dx + \mathcal{H}^{N-1}(K),
\end{equation*}
parmi les paires $(u,K)$ telles que $K$ est un sous-ensemble $(N-1)$-dimensionnel de $\Omega$, $u \colon \Omega \setminus K\to \mathbf{R}^N$ est une fonction lisse qui satisfait une condition de Dirichlet à la frontière $\partial \Omega$, et la matrice $e(u) := (D u + D u^T)/2$ est la partie symétrique du gradient de $u$.
On interprète $u$ comme un champ de déplacement (la déformation du solide est donnée par $x \mapsto x + u(x)$), la matrice $e(u)$ comme le tenseur des déformations linéarisées (il décrit la transformation locale de $\Omega$ résultant des contraintes), $K$ est comme une fracture. L'énergie $\mathcal{G}(u,K)$ met en compétition l'énergie élastique emmagasinée dans $\Omega$ par la déformation et l'énergie requise pour former une fracture.

Cette formulation ne dit rien de la structure et de la régularité de la fracture $K$ a priori et on connait pour l'instant peu de résultats de régularité pour les minimiseurs.
Bien qu'elle ressemble à la fonctionnelle de Mumford-Shah, la fonctionnelle de Griffith présente beaucoup de nouvelles difficultés surprenantes car on travaille avec le gradient symétrisé plutôt qu'avec toutes les dérivées.
Le but de cet exposé est de présenter un nouveau théorème d'$\varepsilon$-régularité pour les minimiseurs et les presque-minimiseurs de Griffith en toute dimension $N$. C'est un travail en collaboration avec Antoine Lemenant.