Une introduction aux problèmes de reconstruction de phase

Les problèmes de reconstruction de phase consistent à reconstruire une fonction $f$ à partir de son module $|f|$ et d'une information a priori sur $f$.
De tels problèmes sont assez courants dans de nombreux domaines scientifiques (optique,, traitement du signal, mécanique quantique...) mais ont été peu traités par les mathématiciens jusqu'à récemment.
L'exemple typique est le problème de la phase en optique lorsque l'information a priori sur $f$ prend la forme ``$f$ est la transformée de Fourier d'une fonction à support compact. Plus généralement, on peut supposer que $f$ est la solution d'une EDP, par exemple que $f=e^{it_0\Delta}u_0$ est la solution au temps $t_0$ de l'équation de Schr\"odinger (libre) avec donnée initiale $u_0$.
Dans ce cas, on est très loin d'avoir unicité de la solution et on peut se demander si faire plus de mesure permet d'obtenir unicité {\it i.e.} si connaître  ${|e^{it\Delta}u_0,t\in I\}$ permet de déterminer $u_0$. La question est totalement ouverte dans le cas de Schr\"odinger avec potentiel.
Le but de cet exposé est de donner un panorama des questions qu'on se pose
(unicité, stabilité, aspects numériques).