Analyse des bifurcations pour certaines EDS McKean-Vlasov

On s’intéresse au comportement en temps long de certaines équations différentielles stochastiques (EDS) de type McKean-Vlasov. Ces EDS s’obtiennent en considérant la limite champ moyen de grands réseaux de particules en interaction. Ces EDS peuvent présenter un comportement en temps long riche avec plusieurs mesures de probabilité invariantes et/ou des solutions périodiques.
On se demande à quelles conditions une mesure de probabilité invariante est localement stable : partant d’une condition initiale légèrement hors équilibre, est-ce que la solution converge vers la mesure invariante considérée ? Si oui, quelle est la vitesse de convergence vers l’équilibre ?
On montre que la stabilité est déterminée par la position des zéros d’une fonction holomorphe explicite, dont l’on donnera une interprétation probabiliste.

L’outil clé est de dériver (au sens de Lions) le terme d’interaction par rapport à la condition initiale. La motivation principale de ce travail est l’analyse des bifurcations d’un modèle de neurones de type “Intègre-et-Tire” en interactions.

https://arxiv.org/abs/2201.11612