Quelques contributions aux méthodes numériques probabilistes et à la modélisation stochastique

Keywords :

• méthode numérique probabiliste adaptative
• modélisation stochastique
• finance mathématique
• HPC

Ce mémoire décrit mes contributions d'une part à la résolution de quelques classes de problèmes probabilistes grâce à des méthodes d'optimisation stochastique et d'autre part à la modélisation stochastique. 
Dans une première partie, je présente quelques résultats théoriques sur l'approximation stochastique et étudie son apport pour la mise en œuvre de méthodes numériques adaptatives. Dans une seconde partie, j'étudie l'utilisation de la technique Sample Average Approximation pour proposer des algorithmes reposant sur la méthode de la fonction d'importance (ou ratio de vraisemblance) pour la simulation de diffusions continues ou avec sauts. Je montre que dans le cas continu cette approche peut être efficacement couplée aux méthodes de Monte Carlo multi-niveaux. Dans chacun des cas, des résultats de convergence de type loi forte des grands nombres et théorèmes central limite sont démontrés. Pour clore cette partie sur l'utilisation de l'optimisation stochastique pour la résolution de divers problèmes probabilistes, je présente une nouvelle approche pour la résolution de problèmes d'arrêt optimal (options Américaines par exemple) formulés comme un problème de minimisation stochastique. Les différentes méthodes numériques proposées dans ce manuscrit visent à résoudre des problèmes de grande taille et mettent donc en œuvre des techniques de calcul haute performance illustrées par de nombreuses simulations numériques sur clusters.
Finalement, je m'intéresse dans une dernière partie à la modélisation stochastique du comportement de matériaux ferromagnétiques afin de mieux comprendre les phénomènes de température dans ces matériaux.

Raporteurs:

• Mr John Schoenmakers (Humbold University, Berlin )
• Mr Denis Talay (directeur de recherche - INRIA Sophia Antipolis Méditerranée )
• Mr Eric Moulines (Professeur - Ecole Polytechnique )

Examinators:

• Mme Adeline Leclercq-Samson (Professeur - Université Grenoble Alpes )
• Mr Gilles Pages (Professeur - Université Paris 6 )
• Mr Anatoli Iouditski (Professeur - Université Grenoble Alpes )