Schémas numériques efficaces pour la simulation de la propagation d’ondes électromagnétiques en milieux hétérogènes et géométries arbitraires (2/2)

On s’intéresse ici à la modélisation numérique de la propagation d’ondes électromagnétiques en interaction avec des milieux hétérogènes et des structures géométriques aux formes arbitraires. Pour la résolution numérique des équations de Maxwell en domaine temporel, on étudie des méthodes Galerkin discontinues d’ordre élevé formulées en maillages non- structurés ou hybrides structurés/non-structurés. De plus, certaines applications nécessitent la prise en compte de lois de comportement spécifiques, modélisant notamment le phénomène de dispersion physique, conduisant à la résolution du système d’EDP de Maxwell couplé à un système d’EDO traduisant la dépendance temporelle des caractéristiques électromagnétiques des milieux considérés.
Dans la première partie de cet exposé, on commencera par décrire les contextes applicatifs ciblés dans nos travaux. Il s’agit d’une part, de l’interaction onde électromagnétique/tissus biologiques aux fréquences micro-ondes et, d’autre part, de l’interaction onde électromagnétique/structures nanométriques aux fréquences optiques. Pour chacune de ces applications, on présentera le modèle mathématique approprié et on discutera des difficultés posées par le traitement numérique de ce modèle. On établira alors le cadre méthodologique commun au traitement numérique de ces modèles. Dans les méthodes Galerkin discontinues au cœur de ses travaux, l’approximation du champ électromagnétique au sein d’un élément du maillage repose sur une interpolation polynomiale d’ordre arbitrairement élevé. Un schéma centré est utilisé pour l’évaluation des intégrales de bord aux interfaces entre éléments voisins sachant que l’approximation globale est discontinue. Enfin, l’intégration en temps des équations semi-discrétisées repose sur un schéma explicite saute-mouton du second ou du quatrième ordre. La méthode Galerkin discontinue en domaine temporel résultante est non- dissipative et sa stabilité est contrainte par une condition de CFL particulièrement restrictive lorsque le maillage est localement raffiné.
Dans la seconde partie de cet exposé, on s’intéressera plus précisément à cette problématique de raideur des calculs en maillages localement raffinés. On présentera différentes stratégies de résolution localement implicites dont on décrira les propriétés de stabilité et précision. Ces stratégies permettent de s'affranchir de la condition CFL très restrictive puisque la nouvelle condition CFL ne porte que sur le domaine non raffiné. En revanche la compréhension du comportement de ces schémas quand les paramètres de discrétisation tendent simultanément vers 0 est nécessaire mais relativement complexe et on en présentera les grandes lignes. Dans la dernière partie, on décrira des résultats de simulations numériques 2D et 3D démontrant l'intérêt en terme de coût de calcul des stratégies de résolution localement implicites proposées.