Sur l'équation à forme volume prescrite.

Je vais donner un aperçu général en incluant certains résultats récents sur le problème suivant: étant donnés un ouvert borné Omega de R^n et f:cl(Omega)->R^n une fonction régulière, trouver une fonction u:cl(Omega)->R^n satisfaisant

det(nabla u(x)) = f(x) pour x dans Omega
u(x) = x pour x dans le bord de Omega

Je vais commencer par rappeler le cas classique f>0 et parlerai ensuite du cas sans hypothèse de signe sur f. Je donnerai également une estimation optimale sur u et pour finir je commenterai le cas u=0 sur le bord.