Existence de minimiseurs pour le problème classique de fracture de Griffith

Une solution classique au problème de Griffith est une paire  (K,u) qui minimise l'énergie de rupture fragile de Griffith sous des conditions au bord appropriées. Ici K est un ensemble fermé qui représente la rupture dans un matériau élastique et u est une fonction différentiable hors de K qui représente le déplacement élastique. Une percée dans la recherche d'une théorie d'existence dans le cas des déplacements scalaires est venue avec la preuve de De Giorgi, Carriero et Leaci '89. Celle-ci est basée sur un résultat de compacité pour les suites dans SBV qui ont l'énergie élastique bornée et l'énergie de saut qui disparaît. Pour prouver la compacité ils établissent une inégalité de type Poincaré sur des fonctions modifiées, obtenues par troncature et co-aire ; toutefois, en raison de l'utilisation des troncatures et de la co-aire, ce résultat ne se prête pas à l'extension au cas vectoriel de l'élasticité linéaire. Nous surmontons cet obstacle en dimension 2, en remplaçant la troncature par de bonnes approximations Sobolev, pour lesquelles nous avons déjà établi des inégalités de Poincaré et de Korn.