Modélisation, analyse et simulation de systèmes compartimentaux structurés en épidémiologie.

Mots clé :

• Modèles compartimentaux en épidémiologie
• Analyse des EDP
• Structure en âge
• Fonction à base radiale
• Méthode de différences finies.

L’espèce humaine est l’espèce animale la plus parasitée par les maladies infectieuses. Le
développement d’une épidémie est lourd de conséquences pour les populations : hausse de la
mortalité, saturation des hôpitaux, répercussions économiques... L’épidémiologie des maladies
infectieuses est la science qui étudie la fréquence et la répartition de ces maladies dans le temps
et dans l’espace, leur impact sur les populations ainsi que les paramètres qui les déterminent.
La récente pandémie de COVID-19, qui a touché le monde entre Décembre 2019 et Mai 2023, a
renforcé la nécessité de créer des modèles mathématiques performants afin de limiter l’impact
sanitaire de telles épidémies.
L’objectif de cette thèse est de proposer un modèle réaliste de l’évolution de l’état sanitaire
d’une population lors d’une épidémie. Nous construisons dans ce travail de recherche un modèle
compartimental SEHIRVD structuré en âge de maladie et en âge d’immunité. Ce modèle
prend en compte la perte d’immunité progressive des individus ainsi que la vaccination. Les
équations qui régissent ce modèle sont un système d’équations aux dérivées partielles couplées
avec des termes intégraux. Pour ce modèle, nous proposons un schéma numérique basé sur
la méthode des Différences Finies supportées par des Fonctions à Base Radiale (RBF-FD)
pour l’approximation des opérateurs en âge, et semi-implicite pour la discrétisation en temps.
Les intégrales sont approchées par une méthode de Quasi-Monte Carlo. Nous établissons
ensuite des propriétés théoriques de notre modèle SEHIRVD. Nous prouvons son caractère
bien posé : le système d’équations admet une unique solution qui dépend continûment des
paramètres et des conditions initiales du problème. Nous démontrons également que la taille
de chaque compartiment du modèle reste positive au cours du temps et ne dépasse pas celle
de la population totale. Nous présentons enfin des simulations numériques de notre modèle
réalisées en langage Python. Ces simulations explorent l’impact des structures en âge sur
l’évolution du système ainsi que l’effet de la vaccination.

Directeurs:

• PR Clémentine PRIEUR (Université Grenoble Alpes )
• PR Didier GEORGES (Grenoble INP / Université Grenoble Alpes )

Raporteurs:

• DR Alain RAPAPORT (INRAE )
• DR Amandine VEBER (CNRS )

Examinateurs:

• PR Joseph WINKIN (Université de Namur )
• CR Paolo FRASCA (CNRS )