Lois de conservation hyperboliques, Inverse Design et contrôle

On commencera par rappeler les origines des lois de conservation  hyperboliques et on fournira quelques exemples classiques issus de divers domaines d'applications.  On exposera ensuite rapidement la théorie des solutions entropiques qui permet de prendre en compte la présence d'ondes de choc et d'obtenir un semigroupe de solutions. Dans ce cadre fonctionnel, il est alors facile de voir que l'évolution devient irréversible.  Le problème dit d'Inverse Design consiste alors, pour un profil et  une durée donnés, à décrire l'ensemble de toutes les données initiales envoyées  sur le profil cible par le semigroupe entropique lorsqu'on laisse la durée  de temps choisie s'écouler. On présentera des résultats obtenus avec Rinaldo Colombo et Abraham  Sylla fournissant une classification complète de ces ensembles. Dans le cadre spatialement homogène d'abord puis lorsque on a une  dépendance explicite du flux en la variable d'espace.
Dans une dernière partie, on exposera des résultats de contrôle en boucle fermée. En plus des solutions constantes, le cadre des solutions entropiques permet d'obtenir l'existence de solutions stationnaires intéressantes: les chocs dont la vitesse de propagation est nulle. Même dans le cadre scalaire unidimensionnel, ces équilibres sont instables.  On montrera comment utiliser les données aux bords pour les stabiliser asymptotiquement à vitesse exponentielle.