Stabilité du spectre de Dirichlet au voisinage du disque

Soit $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ un ouvert de même mesure que la boule unité $B$, et $(\lambda_k(\Omega))_{k\geq 1}$ le spectre du Laplacien avec condition de Dirichlet de $\Omega$, on répond à la question suivante: supposons que la fréquence fondamentale de $\Omega$ soit proche de celle de la boule ($\lambda_1(\Omega)\approx\lambda_1(B)$), peut-on en déduire que tout le spectre de $\Omega$ est proche de celui de la boule ($\lambda_k(\Omega)\approx\lambda_k(B)$) ?
On établit des bornes optimales basées sur l'étude d'un problème à frontière libre vectoriel, en montrant la persistance de la boule comme forme optimale pour une large classe de fonctionnelles obtenues comme perturbation de la fréquence fondamentale.
C'est une collaboration avec Dorin Bucur, Jimmy Lamboley et Raphaël Prunier.