Contrôle et stabilisation d'EDP sur des réseaux

Mots clé :

• stabilisation
• feedback retardés
• équations aux dérivées partielles
• saturation

Dans cette thèse, nous étudions des problèmes de stabilisation de l’équation de Korteweg-de Vries dans un domaine borné et dans une structure de réseau étoilée. Plus spécifiquement, l’objectif de cette thèse est d’analyser les cas où les termes de feedback incluent du retard et de la saturation. Dans le chapitre 3, nous traitons la stabilisation interne de l’équation non linéaire de KdV posée sur un réseau étoilé lorsque les termes de feedback incluent des retards. À l’aide de techniques de Lyapunov et d’une inégalité d’observabilité, nous avons réussi à montrer la stabilité exponentielle du système. Dans le chapitre 4, nous étudions la stabilisation interne saturée de l’équation de KdV sur un réseau étoilé. Dans ce cas, nous montrons d’abord un résultat de caractère bien posé global en utilisant un système linéaire approprié et la propriété de régularisation de Kato. Puis via un argument de contradiction et une inégalité d’observabilité, nous montrons la stabilité exponentielle. Dans le chapitre 5, l’analyse de la stabilité de l’équation de KdV sur un domaine borné en présence de saturation à la frontière est étudiée. En utilisant la théorie des semigroupes non linéaires et des arguments de points fixes, nous montrons le caractère bien posé de l’équation. La stabilité exponentielle est prouvée en utilisant des idées de compacité pour obtenir une inégalité d’observabilité. Dans le chapitre 6, nous considérons l’analyse de la stabilité de l’équation de KdV sur un domaine borné avec un retard dépendant du temps dans le feedback frontière ou interne. Nous étudions le caractère bien posé à l’aide de la théorie des semigroupes qui dépendent du temps. La stabilité exponentielle est dérivée en utilisant la théorie de Lyapunov. Finalement, le chapitre 7 présente quelques commentaires et des possibles pistes de recherche futures.

Directeurs:

• HDR, MCF Emmanuelle Crépeau (Laboratoire Jean Kuntzmann, Université Grenoble Alpes )
• HDR, DR1 Christophe Prieur (Gipsa-Lab, Université Grenoble Alpes )

Raporteurs:

• Professor Bing-Yu Zhang (University of Cincinnati )
• Professeur Franck Boyer (Université Toulouse III - Paul Sabatier )

Examinateurs:

• Professeur Hoai-Minh Nguyen (Sorbonne Université )
• HDR, MCF Julie Valein (Université de Lorraine )
• Professeur Emmanuel Witrant (Université Grenoble Alpes )
• Professor Eduardo Cerpa (Pontificia Universidad Católica de Chile )