Analyse mathématique et numérique d'un modèle poromécanique linéarisé pour des milieux incompressibles et quasi-incompressibles. Application à la micro-circulation.

La plupart des tissus vivants peuvent être modélisés par des systèmes poromécaniques dans lesquels un squelette élastique est perfusé par un fluide.
Dans cet exposé, nous analyserons une version linéarisée du modèle proposé dans [3] et déjà partiellement analysé dans [1], [2]. Une caractéristique de ce modèle est qu’il satisfait à un bilan énergétique. Après avoir introduit le système couplé, nous prouverons l'existence de solutions fortes ou faibles dans le cas d'un squelette viscoélastique ou élastique, compressible ou incompressible. Lorsqu’il n’y a pas de dissipation dans le squelette élastique, il s'agit d'un système couplé parabolique-hyperbolique. De plus, dans le cas incompressible,  une contrainte de divergence nulle sur la vitesse du mélange apparait. L'étude de la limite incompressible  est cruciale dans le cas des tissus vivants qui sont quasi-incompressibles afin de développer des schémas numériques robustes à la limite. Nous présentons et analyserons ensuite des schémas de discrétisation adaptés, complétés par des illustrations numériques. Ce modèle nous permettra en particulier de reproduire des expériences de micro-circulation (perfusion de micro-vaisseaux artificiels). Ces résultats ont été obtenus en collaboration avec Mathieu Barré et Philippe Moireau (INRIA – LMS, Ecole Polytechnique, CNRS – Institut Polytechnique de Paris) dans le cadre de la thèse de Mathieu Barré.


[1] N. Barnafi, P. Zunino, L. Dedè, A. Quarteroni. Mathematical analysis and numerical approximation of a general linearized porohyperelastic model. CAMWA, 2020.
[2] B. Burtschell, P. Moireau, D. Chapelle. Numerical analysis for an energy-stable total discretization of a poromechanics model with inf-sup stability. Acta Mathematicae Applicatae Sinica, English Series, 2019.
[3] D. Chapelle, P. Moireau. General coupling of porous flows and hyperelastic formulations: from thermodynamics principles to energy balance and compatible time schemes. European J. of Mechanics, B/Fluids, 2014.