Conditions aux limites artificielles et méthode de Schwarz optimisée pour un couplage ondes-chaleur en domaines non bornés

Dans cet exposé, nous nous intéressons à la résolution numérique d'un
problème couplé ondes-chaleur en dimension un. Ces deux sous-problèmes
sont couplés sur une interface par des conditions de transmission
physiques.

Le but de ce travail est de mettre en oeuvre une méthode de Schwarz en
temps, ou relaxation d'ondes, permettant de résoudre séparément et sur
tout l'intervalle de temps chacun des sous-problèmes, assortis de
conditions de transmission optimisées. L'intérêt de cette méthode est
de pouvoir résoudre les deux problèmes de manière complètement
indépendante (parallélisation, utilisation de solveurs différents pour
chaque équation...).

Dans un premier temps, chacun des sous-domaines semi-infini est
tronqué en vue de l'implémentation, et on impose sur les frontières
ainsi (artificiellement) créées les conditions aux limites
artificielles correspondant à chaque sous-problème. On a alors
à résoudre un problème équivalent mais sur des domaines bornés.

On effectue ensuite une décomposition de domaines hétérogène. Pour
garantir la convergence de la méthode en un nombre restreint
d'itérations, il s'agit de déterminer sur l'interface les conditions
de transmission optimales (ou optimisées, à défaut). Ceci est réalisé
dans l'espace de Fourier. On obtient des conditions optimisées qui
s'expriment de manière très simples sur l'interface, comme des
conditions de Robin. On peut alors implémenter la méthode de Schwarz
pour approcher la solution du problème couplé.

Par ailleurs, on établit une solution de référence basée sur un schéma
monolithique, en écrivant la formulation variationnelle associée au
problème global. Ceci donnera un point de comparaison pour les
solutions obtenues avec l'algorithme de Schwarz. Pour cette méthode
monolithique sur les domaines tronqués, on démontre un résultat de
stabilité, tant pour le problème continu que pour le problème
totalement discrétisé.

Des simulations numériques permettent de valider la méthode et
d'étudier son comportement vis-à-vis des différents paramètres.

Il s'agit d'un travail en collaboration avec Franz Chouly (Université
de Bourgogne).