Modèles d’épidémie en dimension infinie et stratégie de vaccination optimale

Dans une population homogène, le nombre de reproduction de base, noté 𝑅0, est défini comme le nombre moyen de cas directement générés par une personne contagieuse quand tous les autres individus sont sains et sensibles à l’infection. Ce nombre joue un rôle fondamental en épidémiologie puisqu’il constitue un seuil qui détermine si l’épidémie va finir par disparaître (cas 𝑅0 ≤ 1) ou, au contraire, devenir endémique (cas 𝑅0 > 1).
Imaginons désormais qu’une proportion 1 − 1/𝑅0 de la population est immunisée (en étant vaccinée par exemple). Le nombre moyen d’individus qu’infecte la personne contagieuse est alors divisé par 𝑅0. On en déduit que le nouveau nombre de reproduction, qualifié d’effectif dans ce cas, est égal à 1 : l’épidémie finira par disparaître grâce au phénomène d’immunité grégaire. Le nombre 1 − 1/𝑅0, appelé seuil d’immunité de groupe, est souvent utilisé pour évaluer l’efficacité d’une politique de vaccination par les autorités sanitaires.
Quand les contacts dans la population ne sont plus homogènes, le nombre de reproduction de base est défini comme le nombre de cas directement générés par une personne infectée typique quand tous les autres individus sont sains et sensibles à l’infection. Le seuil d’immunité collective 1 − 1/𝑅0 reste encore valide quand on vaccine la population uniformément. Il est cependant naturel de se demander si l’on ne pourrait pas abaisser ce seuil en ciblant certains groupes dans la population.
L’objectif de cette présentation est de proposer une formalisation mathématique de ce problème. Pour modéliser les contacts dans la population, j’utiliserai des objets issus de la théorie des limites des grands graphes [1, 2, 6]. Dans la première partie de l’exposé, je présenterai un modèle hétérogène de type SIS (Susceptible → Infecté → Susceptible) avec vaccination que nous avons introduit dans [3]. Ce modèle servira de base pour définir les stratégies optimales de vaccination, montrer leur existence et étudier leurs propriétés de stabilité. Cela sera l’objet de la seconde partie de la présentation qui s’appuie sur les preprints [4, 5]. Enfin, je donnerai une série d’exemples où les solutions du problème de vaccination optimale peuvent être exprimées de manière analytique.

[1] C. Borgs, J. T. Chayes, H. Cohn et Y. Zhao. «An 𝐿𝑝 theory of sparse graph convergence I : Limits, sparse random graph models, and power law distributions ». In : Transactions of the American Mathematical Society 372.5 (2019), p. 3019-3062.
[2] C. Borgs, J. T. Chayes, H. Cohn et Y. Zhao. «An 𝐿𝑝 theory of sparse graph convergence II : LD convergence, quotients and right convergence ». In : The Annals of Probability 46.1 (2018), p. 337-396.
[3] J.-F. Delmas, D. Dronnier et P.-A. Zitt. «An infinite-dimensional metapopulation SIS model ». In : Journal of Differential Equations 313 (2022), p. 1-53.
[4] J.-F. Delmas, D. Dronnier et P.-A. Zitt. Effective reproduction number : convexity, concavity and invariance. Version 1. 2021. arXiv : 2110.12693 [math.OC].
[5] J.-F. Delmas, D. Dronnier et P.-A. Zitt. Targeted Vaccination Strategies for an Infinite- dimensional SIS model. Version 2. 2021. arXiv : 2103.10330v2 [math.PR].
[6] L. Lovász. Large networks and graph limits. American Mathematical Society colloquium publications 60. American Mathematical Society, 2012.