Contrôle de paramètre en présence d'incertitudes
Spécialité : Mathématiques Appliquées
11/06/2021 - 09:28 Victor Trappler (Université Grenoble Alpes) Visio
Mots clé :
- Calibration
- Numerical model
- Optimization under uncertainties
De nombreux phénomènes physiques sont modélisés afin d’en mieux connaître les comportements ou de pouvoir les prévoir. Cependant pour représenter la réalité, de nombreux processus doivent être simplifiés, car ils sont souvent trop complexes, ou apparaissent à une échelle bien inférieure à celle de l’étude du phénomène. Au lieu de complètement les omettre, les effets de ces processus sont souvent retranscrits dans les modèles à l’aide de paramétrisations, c’est-à-dire en introduisant des termes les quantifiant, et qui doivent être ensuite estimées. Les méthodes classiques d’estimation se basent sur la définition d’une fonction objectif qui mesure l’écart entre le modèle numérique et la réalité, qui est ensuite optimisée. Cependant, au delà de l’incertitude sur la valeur du paramètre à estimer, un autre type d’incertitude peut aussi être présent. Cela permet de représenter la variabilité intrinsèque de certains processus externes, qui vont avoir un effet sur la modélisation. Ces variables vont être qualifiées d’environnementales. En les modélisant à l’aide d’une variable aléatoire, la fonction objectif devient à son tour une variable aléatoire, que l’on va chercher à minimiser dans un certain sens. Si on omet ce caractère aléatoire, on peut se retrouver avec un paramètre optimal uniquement pour la valeur nominale du paramètre environnemental, et le modèle peut s’éloigner de la réalité pour d’autres réalisations. Ce problème d’optimisation sous incertitudes est souvent abordé en optimisant les premiers moments de la variable aléatoire, l’espérance en particulier. Dans cette thèse, nous nous intéressons plutôt à la notion de regret, qui mesure l’écart entre la fonction objectif et la valeur optimale qu’elle peut atteindre, pour la réalisation de la variable environnementale donnée. Cette idée de regret (additif ou bien relatif) nous permet de proposer une notion de robustesse à travers l’étude de sa probabilité de dépasser un certain seuil, ou inversement à travers le calcul de ses quantiles. À l’aide de ce seuil, ou de l’ordre du quantile choisi, on peut donc définir une famille d’estimateurs basés sur le regret. Néanmoins, le calcul du regret, et donc des quantités dérivées peut vite devenir très coûteux, car il nécessite une optimisation par rapport au paramètre de contrôle. Nous proposons donc d’utiliser des processus Gaussiens (GP) afin de construire un modèle de substitution, et donc de réduire cette contrainte en pratique. Nous proposons aussi des méthodes itératives basées notamment sur la stratégie SUR (Stepwise Uncertainty Reduction, Réduction d’incertitudes séquentielle) : le point à évaluer ensuite est choisi selon un critère permettant d’améliorer au mieux des quantités associées au regret-relatif. Enfin, nous appliquons les outils présentés dans cette thèse à un problème académique d’estimation de paramètre. Nous étudions ainsi la calibration sous incertitudes du paramètre de friction de fond d’un modèle océanique, représentant la façade atlantique des côtes françaises, ainsi que la Manche dans un cadre d’expériences jumelles.
Directeurs:
- Arthur Vidard (Inria )
- Élise Arnaud (Université Grenoble-Alpes )
- Laurent Debreu (Inria )
Raporteurs:
- Youssef Marzouk (Massachusetts Institute of Technology )
- Pietro Marco Congedo (Inria Paris-Saclay )
Examinateurs:
- Olivier Roustant (INSA Toulouse )
- Rémy Baraille (SHOM )