Quelques contributions à l'étude et à la simulation des diffusions asymétriques

Dans cette habilitation on décrit une série de travaux récents concernant les diffusions asymétriques. Par diffusion asymétrique on entend la solution d'une Equation Différentielle Stochastique (EDS) unidimensionnelle faisant intervenir le temps local du processus inconnu, ainsi que des coefficients discontinus. Ce type d'EDS est en lien avec les opérateurs sous forme divergence à coefficients discontinus, ainsi qu'avec les Equations aux Dérivées Partielles (EDP) avec « condition de transmission ».
Dans le chapitre 1 on se penche sur ce type d'EDS avec temps local, dans un contexte où tous les coefficients de l'équation dépendent du temps (on cherche à étendre des résultats connus dans le contexte homogène en temps). On montre des résultats d'existence et d'unicité des solutions pour ce type d'EDS. Puis on établit le lien, via une formule de Feynman-Kac, entre la solution de l'EDS et la solution classique d'une EDP parabolique avec condition de transmission, et coefficients non-homogènes en temps. Nous prouvons nous-mêmes l'existence d'une telle solution classique à l'EDP. On se sert finalement de ces résultats pour étudier le caractère Feller de la solution de l'EDS.
Dans le chapitre 2 on examine un cas particulier et simple d'EDS inhomogène en temps avec temps local: celle du Skew Brownien inhomogène en temps. Ce processus se comporte comme un mouvement brownien, excepté aux instants où il touche le point zéro et est perturbé par le terme de temps local dans l'EDS. Nous pouvons exploiter ainsi la connaissance de lois liées au mouvement brownien, pour expliciter certaines lois du Skew Brownien inhomogène en temps. En particulier nous explicitons sa fonction de transition. Cela permet en outre d'avoir recours à des arguments de convergence simples pour obtenir un résultat d'existence du Skew Brownien inhomogène en temps, sous des hypothèses de régularité plus faibles que les résultats généraux du chapitre 1.

Dans le chapitre 3 on retourne au cas des diffusions asymétriques homogènes en temps, et on produit des méthodes numériques permettant de simuler exactement les trajectoires de tels processus (dans l'esprit des travaux de Beskos, Papaspiliopoulos, Roberts). Ces méthodes sont basées sur un algorithme de rejet, mis en oeuvre sur l'espace des trajectoires. Comme la loi d'une diffusion asymétrique n'est pas absolument par rapport à celle du brownien, nous devons changer de mesure de probabilités de référence dans l'algorithme de rejet (dans les travaux de Beskos et al. sur le cas régulier une des lois de référence est simplement la mesure de Wiener). Nous nous servons de la loi d'un Skew mouvement brownien avec dérive constante comme mesure de référence, loi que nous explicitons. Par des arguments de convergence, ces méthodes, valables pour le cas où un terme de temps local est présent dans l'EDS, donnent naissance à une méthode permettant de traiter le cas d'une EDS sans temps local mais avec terme de dérive discontinu.

Dans le chapitre 4 on présente brièvement diverses contributions dans des domaines autres que les diffusions asymétriques: méthodes de réduction de variance par stratification adaptative, méthodes de développement stochastique pour l'évaluation d'options avec dividendes discrets et équivalence statistique pour des processus de Lévy.

Raporteurs:

• Mr Tony Lelièvre (Professeur - Ecole des Ponts, ENPC )
• Mr Arturo Kohatsu-Higa (Professeur - Université Ritsumeikan )
• Mr Youssef Ouknine (Professeur - Université Cadi Ayyad, Marrakech )

Examinateurs:

• Mr Antoine Lejay (Directeur de recherche - INRIA )
• Mr Denis Talay (Directeur de recherche - INRIA )
• Mme Clémentine Prieur (Professeur - Université Grenoble Alpes )
• Mr Emmanuel Maitre (Professeur - Grenoble INP )