Analyse et Contrôle de Systèmes Dynamiques Polynomiaux

Mots clé :

• Optimisation polynomiale
• Programmation linéaire
• Contrôle
• Abstraction

Cette thèse présente une étude des systèmes dynamiques polynomiaux motivée à la fois par le grand spectre d'applications de cette classe (modèles de réactions chimiques, modèles de circuits électriques ainsi que les modèles biologiques) et par la difficulté (voire incapacité) de la résolution théorique de tels systèmes. Dans une première partie préliminaire, nous présentons les polynômes multi-variés et nous introduisons les notions de forme polaire d'un polynôme (floraison) et de polynômes de Bernstein qui seront d'un grand intérêt par la suite. Dans une deuxième partie, nous considérons le problème d'optimisation polynomial dit POP. Nous décrivons dans un premier temps les principales méthodes existantes permettant de résoudre ou d'approcher la solution d'un tel problème. Puis, nous présentons deux relaxations linéaires se basant respectivement sur le principe de floraison ainsi que les polynômes de Bernstein permettant d'approcher la valeur optimale du POP. La dernière partie de la thèse sera consacré aux applications de nos deux méthodes de relaxation dans le cadre des systèmes dynamiques polynomiaux. Une première application s'inscrit dans le cadre de l'analyse d'atteignabilité : en effet, on utilisera notre relaxation de Bernstein pour pouvoir construire un algorithme permettant d'approximer les ensembles atteignables d'un système dynamique polynomial discrétisé. Une deuxième application sera la vérification et le calcul d'invariants pour un système dynamique polynomial. Une troisième application consiste à calculer un contrôleur et un invariant pour un système dynamique polynomial soumis à des perturbations. Dans le contexte de l'invariance, on utilisera la relaxation se basant sur le principe de floraison. Enfin, une dernière application sera d'exploiter les principales propriétés de la forme polaire pour pouvoir étudier des systèmes dynamiques polynomiaux dans des rectangles.

Directeurs:

• Mr Guillaume James (Professeur - Grenoble INP )
• Mr Antoine Girard (Maître de Conférence - Université Joseph Fourier )

Raporteurs:

• Mr Jean-Luc Gouze (Directeur de Recherche - INRIA Sophia Antipolis )
• Mr Didier Henrion (Directeur de recherche - CNRS )

Examinateurs:

• Mr Nacim Ramdani (Professeur - Université d'Orléans )
• Mr Anatoli Iouditski (Professeur - Université Joseph Fourier )
• Mr Jean-Pierre Raymond (Professeur - Université de Toulouse )