Analyse mathématique et convergence d'un algorithme pour le transport optimal dynamique

Mots clé :

• convergence et consistance d'un algorithme
• problèmes multiphysiques

Au début des années 2000, J. D. Benamou et Y. Brenier ont proposé une formulation dynamique du transport optimal basée sur la recherche en espace-temps d'une densité et d'une quantité de mouvement minimisant une énergie de déplacement entre deux densités. Ils ont alors proposé, pour la résolution numérique de ce problème, d'écrire ce dernier sous la forme d'une recherche de point selle d'un certain lagrangien via un algorithme de lagrangien augmenté. Nous étudierons, à l'aide de la théorie des opérateurs non-expansifs, la convergence de cet algorithme vers un point selle du lagrangien introduit, et ceci dans les conditions les plus générales possibles, en particulier dans les cas où les densités de départ et d'arrivée s'annulent sur certaines zones du domaine de transport. La principale difficulté de notre étude consistera en la preuve de l'existence d'un point selle, et surtout de l'unicité de la composante densité-quantité de mouvement dans de telles conditions. En effet, de tels conditions impliquent de devoir traiter avec des plans de transport optimaux non réguliers : c'est pourquoi une importante partie de nos travaux aura pour objet une étude approfondie de la régularité d'un champ de vitesse associé à de tels plans de transport. Nous tenterons également de caractériser les propriétés d'un champ de vitesse associé à un plan de transport optimal dans l'espace quadratique. Pour finir, nous explorerons  différentes approches relatives à l'introduction de contraintes physiques dans la formulation dynamique du transport optimal, basées sur une pénalisation du domaine de transport ou du champ de vitesse.

Directeurs:

• Mr Nicolas Papadakis (Chargé de recherche - CNRS Université de Bordeaux )
• Mr Emmanuel Maitre (Professeur - Grenoble INP )

Raporteurs:

• Mr Filipo Santambrogio (Professeur - Université Paris-Sud )
• Mr Stéphane Descombes

Examinateurs:

• Mr Didier Bresch (Directeur de Recherche - CNRS, Université de Savoie-Mont-Blanc )
• Mr Vincent Duval (Chargé de recherche - INRIA, Université Paris-Dauphine )