Quelques contributions à l'étude de la modélisation de l'anisotropie et à l'estimation des propriétés de mémoire d'une série temporelle

Mots clé :

• anisotropie
• séries temporelles
• paramètre de mémoire

Dans la première partie de ce mémoire, je m'intéresse à la modélisation de l'anisotropie dans les textures et plus précisément au cas où l'on doit tenir compte simultanément de l'anisotropie et de l'invariance d'échelle. Je m'intéresse tout d'abord à un modèle de champ aléatoire gaussien tout à la fois autosimilaire et anisotrope dont j'étudie les propriétés de régularités. Ceci permet d'introduire une procédure d'estimation de l'anisotropie et de l'indice d'autosimilarité. Je regarde ensuite deux extensions de la notion d'autosimilarité dans le contexte anisotrope : l'autosimilarité par rapport à un groupe qui permet de définir des champs aléatoires anisotropes vérifiant simultanément plusieurs relations d'autosimilarité et l'analyse multifractale anisotrope, qui permet de définir des notions plus large d'invariance d'échelle 

Une seconde partie est dédiée à l'estimation du paramètre de mémoire via les ondelettes dans le cas de séries temporelles non linéaires, fonctions non linéaires d'une série temporelle gaussienne stationnaire. Je mets d'abord en évidence la diversité des comportements asymptotiques possibles de cet estimateur, montrant notamment qu'on peut avoir des non-théorèmes central limites et ainsi des limites non gaussiennes. Je donne ensuite des conditions suffisantes, pour pouvoir appliquer le reduction principle, c'est à dire pour pouvoir considérer que le comportement asymptotique de l'estimateur  est le même que celui dans le cas où la série temporelle non linéaire étudiée serait remplacée par son premier terme dans son développement en chaos de Wiener. J'ai appliqué ces résultats pour tester la valeur du paramètre de mémoire. 

Les deux dernières parties présentent deux autres travaux. Un portant sur la définition d'un synchrosqueezing bidimensionnel, permettant de retrouver les composantes d' images superposition de textures orientés. Un autre portant sur la définition d'un estimateur superefficace de l'intensité d'un processus ponctuel qui est construit via la méthode de Stein.

Raporteurs:

• Mr Vladas Pipiras (Professeur - UNC-CH, Chapel Hill, North Carolina )
• Mr Gabriel Peyre (Directeur de Recherche - CNRS-Ceremade, Paris )
• Mr Herold Dehling (Professeur - Ruhr Universität Bochum )

Examinateurs:

• Mr François Roueff (Professeur - LTCI, Telecom ParisTech )
• Mr Massih-Reza   Amini (Professeur - LIG Grenoble )
• Mr Murad Taqqu (Professeur - Boston University, Boston )
• Mme Anne Philippe (Laboratoire Jean Leray, Université de Nantes )
• Mme Valerie Perrier (Professeur - ENSIMAG LJK, Grenoble )