L'analyse mathématique et algorithmique de la dynamique de Langevin modifié

Mots clé :

• Equations de Langevin
• physique statistique numérique
• réduction de la variance

En physique statistique, l'information macroscopique d'intérêt pour les systèmes considérés peut être dé- duite à partir de moyennes sur des configurations microscopiques réparties selon des mesures de probabilité µ caractérisant l'état thermodynamique du système. En raison de la haute dimensionnalité du système (qui est proportionnelle au nombre de particules), les configurations sont le plus souvent échantillonnées en utilisant des trajectoires d'équations différentielles stochastiques ou des chaînes de Markov ergodiques pour la mesure de Boltzmann-Gibbs µ, qui décrit un système à température constante. Un processus stochastique classique permettant d'échantillonner cette mesure est la dynamique de Langevin. En pratique, les équations de la dynamique de Langevin ne peuvent pas être intégrées analytiquement, la solution est alors approchée par un schéma numérique. L'analyse numérique de ces schémas de discrétisation est maintenant bien maîtrisée pour l'énergie cinétique quadratique standard. Une limitation importante des estimateurs des moyennes sont leurs éventuelles grandes erreurs statistiques. Sous certaines hypothèses sur les énergies ciné- tique et potentielle, il peut être démontré qu'un théorème de limite central est vrai. La variance asymptotique peut être grande en raison de la métastabilité du processus de Langevin, qui se produit dès que la mesure de probabilité µ est multimodale. Dans cette thèse, nous considérons la discrétisation de la dynamique de Langevin modifiée qui améliore l'échantillonnage de la distribution de Boltzmann-Gibbs en introduisant une fonction cinétique plus générale à la place de la formulation quadratique standard. Nous avons en fait deux situations en tête : (a) La dynamique de Langevin Adaptativement Restreinte, où l'énergie cinétique s'annule pour les faibles moments, et correspond à l'énergie cinétique standard pour les forts moments. L'intérêt de cette dynamique est que les particules avec une faible énergie sont restreintes. Le gain vient alors du fait que les interactions entre les particules restreintes ne doivent pas être mises à jour. En raison de la séparabilité des positions et des moments marginaux de la distribution, les moyennes des observables qui dépendent de la variable de position sont égales à celles calculées par la dynamique de Langevin standard. L'efficacité de cette méthode réside dans le compromis entre le gain de calcul et la variance asymptotique des moyennes ergodiques qui peut augmenter par rapport à la dynamique standards car il existe a priori plus des corrélations dans le temps en raison de particules restreintes. De plus, étant donné que l'énergie cinétique est nulle sur un ouvert, la dynamique de Langevin associé ne parvient pas à être hypoelliptique. La première tâche de cette thèse est de prouver que la dynamique de Langevin avec une telle énergie cinétique est ergodique. L'étape suivante consiste à présenter une analyse mathématique de la variance asymptotique de la dynamique AR-Langevin. Afin de compléter l'analyse de ce procédé, on estime l'accélération algorithmique du coût d'une seule itération, en fonction des paramètres de la dynamique. (b) Nous considérons aussi la dynamique de Langevin avec des énergies cinétiques dont la croissance est plus que quadratique à l'infini, dans une tentative de réduire la métastabilité. La liberté supplémentaire fournie par le choix de l'énergie cinétique doit être utilisée afin de réduire la métastabilité de la dynamique. Dans cette thèse, nous explorons le choix de l'énergie cinétique et nous démontrons une convergence améliorée des moyennes ergodiques sur un exemple de faible dimension. Un des problèmes avec les situations que nous considérons est la stabilité des régimes discrétisés. Afin d'obtenir une méthode de discrétisation faiblement cohérente d'ordre 2 (ce qui n'est plus trivial dans le cas de l'énergie cinétique générale), nous nous reposons sur les schémas basés sur des méthodes de Metropolis.

Directeurs:

• Mr Gabriel Stoltz (Professeure - Ecole des Ponts ParisTech )
• Mr Stéphane Redon (Chargé de Recherche - INRIA )

Raporteurs:

• Mr Grigorios A Pavliotis (Professeur - Imperial College London )
• Mme Benedict Leimkuhler (Professeur - Université d'Edimbourg )

Examinateurs:

• Mr Jean Louis Barrat (Professeur - Université Grenoble Alpes )
• Mr Mathias Rousset (Chargé de recherche - INRIA Rennes )