Transport optimal et ondelettes : nouveaux algorithmes et applications à l'image

Le transport optimal trouve un nombre grandissant d'applications, dont celle qui nous intéresse dans ce travail, l'interpolation d'images. Malgré cet essor, la résolution numérique de ce transport soulève des difficultés et le développement d'algorithmes efficaces reste un problème d'actualité, en particulier pour des images de grande taille, comme on en trouve dans certains domaines (météorologie,...). Nous nous intéressons dans ce travail à la formulation de Benamou et Brenier, qui ont placé le problème dans un contexte de mécanique des milieux continus en ajoutant une dimension temporelle. Leur formulation consiste en la minimisation d'une fonctionnelle sur un espace des contraintes contenant une condition de divergence nulle, et les algorithmes existants utilisent une projection sur cet espace. A l'opposé, dans cette thèse, nous définissons et mettons en oeuvre des algorithmes travaillant directement dans cet espace. En effet, nous montrons que la fonctionnelle a de meilleures propriétés de convexité sur celui-ci. Pour travailler dans cet espace, nous considérons trois représentations des champs de vecteurs à divergence nulle. La première est une base d'ondelettes à divergence nulle. Cette formulation a été implémentée numériquement dans le cas des ondelettes périodiques à l'aide d'une descente de gradient, menant à un algorithme de convergence lente mais validant la faisabilité de la méthode. La deuxième approche consiste à représenter les vecteurs à divergence nulle par leur fonction de courant munie d'un relèvement des conditions au bord et la troisième à utiliser la décomposition de Helmholtz-Hodge. Nous montrons de plus que dans le cas unidimensionnel en espace, en utilisant l'une ou l'autre de ces deux dernières représentations, nous nous ramenons à la résolution d'une équation de type courbure minimale sur chaque ligne de niveau du potentiel, munie des conditions de Dirichlet appropriées. La minimisation de la fonctionnelle est alors assurée par un algorithme primal-dual pour problèmes convexes de Chambolle-Pock, qui peut aisément être adapté à nos différentes formulations et est facilement parallèlisable, menant à une implémentation performante et simple. En outre, nous démontrons les gains significatifs de nos algorithmes par rapport à l'état de l'art et leur application sur des images de taille réelle.

Directeurs:

• Mr Emmanuel Maitre (Professeur - Grenoble INP )
• Mme Valérie Perrier (Professeur - Grenoble INP )

Raporteurs:

• Mr Jacques Liandrat (Professeur - Centrale Marseille/I2M )
• Mr Gabriel Peyre (Directeur de recherche - CEREMADE, Université Paris-Dauphine )

Examinateurs:

• Mme Carole Leguyader (Professeur - LMI - Insa de Rouen )
• Mr Nicolas Papadakis