Commande optimale des systèmes de complémentarité linéaire

Mots clé :

• Commande quadratique
• Temps minimal
• Système de complémentarité

Cette thèse se concentre sur la commande optimale des systèmes de complémentarité linéaires (notés LCS). Les LCS sont des systèmes dynamiques définis par des équations différentielles algébriques (ÉDA), où une des variables est définie par un problème de complémentarité linéaire, qu'on écrit comme : 0 ≤ λ ⊥ Dλ + q ≥ 0.
Ces systèmes se retrouvent dans la modélisation de nombreux phénomènes, tels que les équilibres dynamiques de Nash, les systèmes dynamiques hybrides, la modélisation des systèmes mécaniques avec contact frottant ou encore des circuits électriques. Les propriétés des solutions à ces ÉDA dépendent essentiellement de propriétés que doit vérifier la matrice D présente dans la complémentarité. Ces contraintes de complémentarité posent des problèmes à deux niveaux. Premièrement, l'analyse de ces systèmes dynamiques fait souvent appel à des outils pointus, et leur étude laissent encore des questions non résolues. Deuxièmement, la commande optimale pour ces systèmes pose des difficultés à cause d'une part de la présence éventuelle de l'état dans les contraintes, et d'autre part une violation assurée des qualifications des contraintes qui sont une hypothèse récurrente des problèmes d'optimisation.
La recherche de ce manuscrit se concentre sur la commande optimale de ces systèmes. On s'intéresse principalement à la commande quadratique (minimisation d'une fonctionnelle quadratique en l'état et la commande), et à la commande temps minimal. Les résultats se concentrent sur deux pans: d'un côté, on opère une approche analytique du problème afin de trouver des conditions nécessaires d'optimalité (si possible, on démontre qu'elles sont suffisantes) ; dans un deuxième temps, un développement logiciel est effectué, avec le soucis d'obtenir des résultats numériques précis de manière rapide.

Directeurs:

• Bernard Brogliato (INRIA )
• Christophe Prieur (CNRS )