Quelques résultats d'équivalence asymptotique pour des expériences statistiques dans un cadre non paramétrique

Mots clé :

• Processus de Lévy
• Processus de diffusion
• Estimation non paramétrique

Les travaux de cette thèse portent sur l'équivalence asymptotique au sens de Le Cam entre modèles statistiques. Il s'agit d'une notion qui a été introduite dans les années soixante par le mathématicien français Lucien Le Cam qui, le premier, a imaginé une façon de comparer deux expériences (modèles) statistiques ayant le même espace de paramètres en définissant une pseudo-distance, la distance Delta.
Une conséquence particulièrement intéressante de cette théorie est que si la distance Delta entre deux suites d'expériences tend vers zéro, alors les propriétés asymptotiques des procédures d'estimation sont identiques pour ces expériences (vitesses minimax des estimateurs pour des fonctions de perte bornées, constantes exactes minimax, etc).
La pierre fondatrice de la théorie de l'équivalence asymptotique entre expériences dans un contexte non paramétrique a été posé par Brown et Low (1996) et Nussbaum (1996) qui ont établi un résultat d'équivalence asymptotique entre les modèles clé de la statistique non paramétrique (régression non paramétrique, modèle de bruit blanc gaussien, estimation non paramétrique d'une densité à partir d'observations i.i.d.). Les années 2000 ont vu croître l'intérêt dans la théorie de Le Cam et plusieurs modèles statistiques ont été classifiés en utilisant l'équivalence asymptotique, en particulier des modèles issus de la statistique des processus. C'est dans cet esprit qui se situe ce travail de thèse.
Plus précisément, nous avons pu obtenir des résultats d'équivalence asymptotique pour différentes classes de processus (processus à accroissements indépendants (PAI), processus de Lévy à sauts purs, processus de diffusion) ainsi que pour des modèles à densité plus classique.
En ce qui concerne les résultats d'équivalence pour des PAI, dans un premier temps nous nous sommes focalisés sur un problème d'équivalence pour le modèle statistique associé à l'observation discrète (haute fréquence) d'un PAI  ayant une mesure de Lévy finie et une dérive inconnue, supposée appartenir à une certaine classe fonctionnelle. Il s'est avéré que ce modèle statistique est asymptotiquement équivalent au modèle statistique gaussien. 
Dans un deuxième temps, nous nous sommes intéressés au problème de l'estimation non paramétrique de la densité de Lévy f relative à un processus de Lévy à sauts purs, X. Nous avons pu prouver l'équivalence asymptotique, en ce qui concerne l'estimation de f, entre le modèle statistique associé à l'observation discrète de X et un certain modèle de bruit blanc gaussien ayant √ f comme dérive.
Dans cette thèse nous avons également eu l'occasion de traiter des processus de diffusion. Notamment, nous avons proposé un résultat d'équivalence asymptotique pour des processus de diffusion avec petite variance et le schéma d'Euler correspondant.

Directeurs:

• Mr Pierre Etoré (Maître de Conférences - Grenoble INP )
• Mme Sana Louhichi (Professeur - Université Joseph Fourier )

Raporteurs:

• Mr Ion Grama (Professeur - Université de Bretagne-Sud )
• Mr Marc Hoffmann (Professeur - Université Paris-Dauphine )

Examinateurs:

• Mme Valentine Genon-Catalot (Professeur - Université Paris Descartes )
• Mr Anatoli Iouditski (Professeur - Université Joseph Fourier )