Résolution effective de problèmes géométriques non linéaires

Mots clé :

• transport optimal numérique
• intégration convexe

Je présente dans ce mémoire ma contribution en géométrie numérique. Mes travaux portent sur des estimations en inférence géométrique et sur différents problèmes de reconstruction ayant des connections avec des domaines variés tels que le transport optimal, la géométrie algorithmique, la théorie géométrique de la mesure ou encore la théorie de l'intégration convexe. Le point commun de mon apport dans ces domaines est le développement de calculs effectifs dans des problèmes géométriques. 

Je montre dans une première partie que l'on peut retrouver de manière robuste les propriétés géométriques d'une forme dans un espace euclidien à partir d'une approximation comme par exemple un nuage de points, une triangulation, ou de manière plus générale un compact. L'approche générale consiste à utiliser les propriétés de stabilité et de régularité des fonctions distances et plus généralement de fonctions distances généralisées.  Je présente des résultats de stabilité et de convergence portant sur les géodésiques, les normales, les mesures de courbure de Federer et les mesures de covariance de Voronoi généralisées. 

Je m'intéresse ensuite à la résolution de certaines équations aux dérivées partielles non linéaires et propose des méthodes géométriques. Un certain nombre de problèmes inverses issus de l'optique anidolique peuvent se formaliser avec des équations de type Monge-Ampère. Le problème du réflecteur en champ lointain  est ainsi modélisé par une EDP non linéaire sur la sphère. Le but est de créer la surface d'un réflecteur qui envoie une source de lumière ponctuelle sur une distribution de lumière souhaitée à l'infini. En combinant une approche variationnelle venant du transport optimal avec des outils de géométrie algorithmique et une construction géométrique due à L. A. Caffarelli et V. Oliker, nous proposons en particulier une méthode efficace de résolution numérique pour la construction de ce réflecteur.

Je présente enfin la réalisation d'un plongement isométrique du tore carré plat dans l'espace euclidien de dimension trois. L'existence d'un tel plongement est dû à un résultat exceptionnel de John Nash dans les années 1950 sur les plongements isométriques des variétés riemanniennes. Dans ce cas, la contrainte isométrique est exprimée par une EDP non linéaire impliquant le tenseur de métrique. L'outil théorique principal que nous utilisons est celui de la théorie de l'intégration convexe, qui a été développée par M. Gromov dans les années 70-80 pour résoudre de manière générale des systèmes différentiels sous-déterminés. Nous avons adapté et implémenté cet outil afin d'obtenir un algorithme de construction d'un plongement isométrique du tore carré plat dans l'espace ambiant et avons ainsi découvert une nouvelle structure géométrique, celle des fractales lisses. 

Raporteurs:

• Mr Joseph Fu (Professeur - Georgia University )
• Mr Bruno Levy (Directeur de Recherche - INRIA Nancy )

Examinateurs:

• Mr Eric Bonnetier (Professeur - Université Joseph Fourier-Université Grenoble Alpes )
• Mr Hervé Pajot (Professeur - Université Grenoble Alpes )
• Mr Konrad Polthier (Professeur - Freje Universität Berlin )
• Mr Simon Masnou (Professeur - Université Lyon 1 )