Estimation des indices de stabilité et d'autosimilarité par variations de puissances négatives

Mots clé :

• processus stable
• estimateur du paramètre d'autosimilarité
• estimateur du paramètre de stabilité

Ce travail porte sur l'estimation des indices d'autosimilarité et de stabilité d'un processus ou champ stable fractionnaire et autosimilaire ou d'un processus stable multifractionnaire. Plus précisément, soit X un processus ou un champ stable H-autosimilaire à accroissements stationnaires (H-sssi) ou un processus stable multifractionnaire. Nous observons X aux points k/n, k=0,…,n. 

Nos estimations sont basées sur des variations de puissances négatives β avec -1/2&ltβ&lt0: en effet, ces variations ont une espérance et une variance. Nous obtenons des estimateurs consistants, avec les vitesses de convergence, pour plusieurs processus H-sssi α-stables classiques (mouvement brownien fractionnaire, mouvement stable fractionnaire linéaire, processus de Takenaka, movement de Lévy). De plus, nous obtenons la normalité asymptotique de nos estimations pour le mouvement brownien fractionnaire et le mouvement de Lévy. Ce nouveau cadre nous permet de donner une estimation pour le paramètre d'autosimilarité H sans hypothèse sur α et, vice versa, nous pouvons estimer l'indice stable α sans hypothèse sur H. En généralisant, pour le cas d'une dimension supérieure à 1, nous obtenons également  des estimateurs consistants pour H et α. Les résutats sont illustrés par des exemples: champ de Lévy fractionnaire, champ stable fractionnaire linéaire, champ de Takenaka.
Pour les processus stables multifractionnaires, nous nous concentrons sur le mouvement brownien multifractionnaire et le processus stable multifractionnaire linéaire. Dans ces deux cas, nous obtenons la consistance des estimateurs pour la fonction d'autosimilarité à un temps donné u et pour l'indice stable α.

Directeurs:

• Mr Jacques Istas (Professeur - Université Grenoble Alpes )

Raporteurs:

• Mr Yimin Xiao (Professeur - Université d'État du Michigan )
• Mme Anne Estrade (Professeur - Université Paris Descartes )

Examinateurs:

• Mme Céline Lacaux (Professeur - Université d'Avignon et des pays de Vaucluse )
• Mr Huu Du Nguyen (Professeur - Institut d'études avancées en mathématiques du Vietnam )
• Mr Serge Cohen (Professeur - Université Paul Sabatier )