Schémas semi-implicites et de diffusion-redistanciation pour la dynamique des globules rouges

Mots clé :

• méthode levelset
• schémas semi-implicites
• mouvements d'interface générés par diffusion
• méthode de convolution-seuillage
• méthode de convolution-redistanciation
• schéma de prédiction

Dans ce travail, nous nous sommes intéressés à la mise en place de schémas semi-implicites pour l'amélioration des simulations numériques du déplacement d'un globule rouge dans le sang. Nous considérons la méthode levelset où l'interface fluide-structure est représentée comme la ligne de niveau 0 d'une fonction auxiliaire et le couplage est effectué en ajoutant un terme source dans l'équation fluide. Le principe de ces schémas semi-implicites est de prédire la position et la forme de la structure par une équation de la chaleur et d'utiliser cette prédiction pour obtenir un terme de force plus précis dans l'équation fluide. Ce type de schémas semi-implicites a d'abord été mis en place dans le cadre d'un système diphasique ou d'une membrane élastique immergée pour avoir des conditions moins restrictives sur le pas de temps que pour un couplage explicite. Cela a permis d'en choisir un plus grand et ainsi augmenter l'efficacité globale de l'algorithme complet par rapport à un schéma explicite classique. Afin d'étendre ce raisonnement au cas d'un globule rouge, nous proposons un algorithme pour simuler le flot de Willmore en dimensions 2 et 3. Notre méthode s'inspire des méthodes de mouvements d'interface générés par diffusion et nous arrivons à obtenir un flot non linéaire d'ordre 4 uniquement avec des résolutions d'équations de la chaleur. Pour assurer la conservation du volume et de l'aire d'un globule rouge, nous proposons ensuite une méthode de correction qui déplace légèrement l'interface afin de recoller aux contraintes. La combinaison des deux étapes précédentes décrit le comportement d'un globule rouge laissé au repos. Nous validons cette méthode en obtenant une forme d'équilibre d'un globule rouge. Nous proposons enfin un schéma semi-implicite dans le cas d'un globule rouge qui ouvre la voie vers l'utilisation de cette méthode comme prédicteur de l'algorithme de couplage complet.

Président:

Mr Georges-Henri Cottet (Professeur des Universités - Université Grenoble Alpes)

Directeurs:

• Mr Mourad Ismail (Maitre de Conférences - Université Grenoble Alpes )
• Mr Emmanuel Maitre (Professeur des Universités - Grenoble INP )

Raporteurs:

• Mr Cédric Galusinski (Professeur des Universités - Université de Toulon )
• Mme Marcela Szopos (Professeur des Universités - Université Paris Descartes )

Examinateurs:

• Mr Elie Bretin (Maitre de Conférence - INSA de Lyon )
• Mr Georges-Henri Cottet (Professeur des Universités - Université Grenoble Alpes )