Théorie quantitative de la rectifiabilité : Une introduction

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Séminaire Géométrie-Images: MGMI

22/09/2011 - 15:30 Hervé Pajot Salle 2 - Tour IRMA

Soit E ⊂ R^n  un ensemble de dimension (de Hausdorff ) d. On peut voir E comme un 
nuage de points infini. A quelle(s) condition(s) peut-on paramétrer E de façon régulière, 
c'est à dire qu'il existe f : R^d → R^n 
régulière (par exemple, lipschitzienne) telle que E ⊂ f (R^d ) ? Un cas simple mais non trivial est d'essayer de caractériser les sous-ensembles 
de courbes rectifiables du plan complexe (dans ce cas, d = 1, n = 2 et f lipschitzienne). 
Par analogie avec la théorie des ondelettes dans le cas de l'étude des fonctions, l'idée est 
de faire une analyse multi-échelle de l'ensemble E. Pour cela, on introduit des quantités 
géométriques qui mesurent en tout point et à toutes les échelles la platitude de E. Dans 
cet exposé, on donnera quelques réponses à la question initiale (en particulier, on donnera 
une caractérisation des sous-ensembles de courbes rectifiables) et on expliquera quelques 
problèmes (largement) ouverts. Enfin, on présentera des applications en segmentation 
d'images (Fonctionnelle de Mumford-Shah par exemple) et à l'étude de la continuité 
d'opérateurs d'intégrales singulières (qui peuvent être vus comme des généralisations des 
opérateurs pseudo-différentiels et qui sont utiles dans des problèmes d'EDP dans des 
domaines non lisses).