Systèmes fonctionnels linéaires et structures algébriques

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Séminaire Modèles et Algorithmes Déterministes: CASYS

9/02/2012 - 09:45 Mr Alban Quadrat (INRIA Saclay-Ile-de-France) Salle 1 - Tour IRMA

Le but de cet exposé est de montrer comment des idées d'analyse algébrique - théorie mathématique développée par Malgrange, Sato, Kashiwara... dans les années 60 - permettent de donner un cadre général pour l'étude des systèmes fonctionnels linéaires (e.g., systèmes d'équations différentielles, aux dérivées partielles, aux différences, à retard) généraux (déterminés, sous-déterminés, sur-déterminés).

Nous montrerons comment un système fonctionnel linéaire peut être étudié grâce à un module de présentation finie sur une algèbre de Ore (algèbre non commutative de polynômes) d'opérateurs fonctionnels (e.g., opérateurs différentiels, de décalage, aux différences) et comment certaines propriétés intrinsèques du système peuvent être interprétées en terme de propriétés du module. Nous donnerons une interprétation "système" des propriétés algébriques classiques telles que la torsion, l'absence de torsion, la projectivité, la liberté, les morphismes, la décomposition du module, la filtration par pureté... en termes d'existence d'éléments autonomes, de lois de conservation, de symétries, de paramétrisations (injectives) ou de décomposition de l'espace de solutions du système... Nous illustrerons ces résultats à l'aide d'exemples ou de problèmes venant de la théorie du contrôle (e.g., contrôlabilité, platitude, commande optimale) ou de la physique mathématique (e.g., élasticité, électromagnétisme, hydrodynamique, équations d'Einstein/Maxwell/Dirac/Stokes).

Afin de vérifier les propriétés des modules et donc celles des systèmes, nous développerons une version constructive de certains outils classiques d'algèbre homologique (e.g., résolutions, extensions) rendus effectifs à l'aide de techniques de calcul formel (e.g., bases de Gröbner, bases de Janet, intégrabilité formelle).

Finalement, nous illustrerons les différents algorithmes obtenus à l'aide de leurs implémentations dans des packages Maple et GAP4 dédiés, et nous montrerons comment les résultats exposés permettent, par exemple, d'améliorer le solveur d'équations aux dérivées partielles de Maple.