Convergence des intégrales multiples de Wigner vers la loi semi-circulaire

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Séminaire Probabilités & Statistique

9/02/2012 - 14:00 Ivan Nourdin (Université de Nancy 1) Salle 1 - Tour IRMA

En 2005, Nualart et Peccati ont prouvé un théorème central limite surprenant pour les intégrales multiples de Wiener-Itô: si X_k est une suite (normalisée) d'intégrales multiples de Wiener-Itô d'ordre q (supérieur ou égal à 2) alors X_k converge en loi vers N(0,1) si et seulement si E[X_k^4] tend vers 3. Autrement dit, dans un chaos de Wiener d'ordre fixé, la convergence en loi vers la gaussienne est équivalente à la seule condition (a priori beaucoup plus faible) que le moment 4ème tende vers 3. Dans cet exposé, je discuterai une extension de ce résultat dans le monde des matrices aléatoires de grandes tailles. Dans ce contexte, le théorème de Nualart et Peccati a un analogue exact, mais la condition pour la convergence devient E[X_k^4]-->2, 2 étant le moment 4ème de la loi semi-circulaire. Pour suivre mon exposé, aucune connaissance en théorie des matrices aléatoires et des probabilités libres n'est pré-requise, tout sera en effet introduit au fur et à mesure.