Algèbres géométriques et informatique graphique

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Séminaire Géométrie-Images: MGMI

23/03/2012 - 14:00 Mr Laurent Fuchs Salle 1 - Tour IRMA

Depuis son origine l'informatique graphique est confrontée au problème de la représentation des objets et opérations géométriques. L'approche qui s'est largement imposée est celle de la géométrie analytique introduite il y a bien longtemps par Descartes. Ce point de vue  est hérité d'une pratique mathématique bien établie et qui a fait ses preuves. Le moyen de calcul généralement associé est l'algèbre linéaire qui étudie les propriétés des espaces vectoriels et les applications entre ces espaces, les applications linéaires. Les objets géométriques (points, droites, cercles, sphères, etc,) et les opérations sur ces objets (translations, rotations, intersections, etc.) sont alors exprimés en termes de vecteurs et d'opérations de l'algèbre linéaire (addition, soustraction de vecteurs, multiplication par un scalaire, produit scalaire, produit vectoriel).  Malheureusement, l'algèbre linéaire ne permet pas toujours une expression aisément manipulable des concepts géométriques. Ces limitations conduisent à des pratiques demandant des justifications soignées qui ne sont pas toujours présentes dans l'™esprit du programmeur.
    L'idée de développer un « calcul » (une algèbre) géométrique afin de faire le lien entre le langage synthétique de la géométrie (où l'™on parle de points, de droites, de cercles, etc.) et le langage analytique (où l'™on exprime un calcul sur des coordonnées) a émergée dès le XIXe siècle dans les travaux de Grassmann puis ceux de Clifford. Peu à  peu oublié, l'aspect géométrique des algèbres de Grassmann et de Clifford a été réactivé en physique par Hestenes à la fin des années 60. Ces algèbres géométriques proposent un système de calcul puissant pour décrire et résoudre des problèmes géométriques et leur intérêt en informatique graphique n'a cessé d'être démontré depuis une dizaine d'années.
    L'objectif de cet exposé est d'introduire les algèbres géométriques et d'illustrer leur utilisation en informatique graphique.