Modélisation des parois multiperforées

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Séminaire Modèles et Algorithmes Déterministes: EDP-MOISE

4/04/2012 - 10:30 Mlle Sophie LAURENS (INSA, Toulouse) Salle 1 - Tour IRMA

Dans cet exposé, nous présentons une justification mathématique ainsi que l'amélioration des modèles habituels de prévision de la réflexion et la transmission effective d'une onde acoustique par une plaque multi-perforée de faible porosité. Il est admis que les interactions à courte portée peuvent être négligées pour une porosité inférieure à 4% . Mathématiquement, cette propriété traduit que la taille de chaque ouverture est négligeable par rapport à l'espacement entre deux perforations. En général, les modèles sont obtenus en supposant que les dimensions des perforations sont négligeables par rapport à la longueur d'onde. Cependant, il peut être démontré qu'il suffit que l'espacement entre les perforations soit inférieur à une demi-longueur d'onde. Dans une première partie de cet exposé, nous proposons une extension de la méthode de Leppington et Levine. Nous adapterons cette méthode au cas de plaques épaisses, et nous introduirons des termes de second ordre. Les principaux outils utilisés seront la représentation intégrale du noyau quasi-périodique en dehors de la plaque et une approximation basse fréquence de ce noyau par des « lattice sums » pour les équations de Helmholtz . Nous montrerons ensuite comment les coefficients de réflexion et de transmission peuvent être exprimés en fonction de la conductivité de Rayleigh.

La conductivité de Rayleigh est une quantité clé dans les modèles acoustiques pour plaques perforées et multi-perforées. Son calcul numérique est difficile à gérer pour les deux raisons suivantes. Tout d'abord, ce problème est tridimensionnel et l'obtention de sa solution numérique est coûteuse. Deuxièmement, ce problème est posé sur un domaine non borné et doit être résolu soit par un code éléments de frontière soit en dérivant une condition à l'infini qui intègre le comportement de la solution. Pour contourner ces difficultés techniques, de nombreux auteurs ont proposé des formules approchées pour la conductivité de Rayleigh, basées soit sur des calculs analytiques soit semi-heuristiques. Dans ces papiers, il est difficile de distinguer parmi les approximations celles qui sont heuristiques et celles qui sont obtenues de façon rigoureuse. Dans la deuxième partie de cet exposé, nous proposerons un cadre mathématique rigoureux pour obtenir des approximations du coefficient de Rayleigh pour différentes géométries de perforations.