Conditions de transmission approchées pour la simulation numérique de la diffraction par des couches minces périodiques

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Séminaire Modèles et Algorithmes Déterministes: EDP-MOISE

5/04/2012 - 11:00 Mme Berangere Delourme (Unité de Mathématiques Appliquées de l'ENSTA) Salle 1 - Tour IRMA

Cet exposé est consacré à l’étude des équations de Maxwell en régime harmonique dans une
structure périodique constituée d’un anneau mince de matériau diélectrique à l’intérieur duquel
s’enroulent deux nappes de fils. L’épaisseur de l’anneau et la distance entre deux fils
sont du même ordre de grandeur ,  étant bien à inférieur à la longueur d’onde  de l’onde
incidente. La présence des deux échelles différentes  et  rend les simulations numériques très
coûteuses. Par exemple, si on discrétise le problème par une méthode d’éléments finis, on doit
mailler le domaine de calcul à l’échelle des fils (), si bien que le nombre de degrés de liberté
explose quand  tend vers 0. C’est pourquoi, nous construisons des modèles approchés dans
lesquels l’anneau périodique est remplacé par une condition de transmission approchée. Ces
modèles approchés ne voient l’anneau périodique que de manière indirecte, leur simulation
numérique est ainsi bien moins coûteuse que celle du problème exact.
La construction des modèles approchés repose sur un développement asymptotique de la solution
du problème exact en fonction du petit paramètre . Nous utilisons une méthode qui
mixte les techniques des développements asymptotiques raccordés et de l’homogénéisation
périodique. Les conditions de transmission approchées se déduisent alors du développement
asymptotique tronqué. Nous accordons une attention particulière à la stabilisation et à la justification de nos modèles. Ces derniers sont ensuite validés par des simulations numériques.