Schémas numériques utilisant les bases réduites de réseaux, pour le traitement de l'image.

Les équations aux dérivées partielles jouent un rôle fondamental en traitement de l'image. Des directions particulières, non alignées avec les axes de coordonnées, possèdent parfois un rôle  privilégié dans ces équations. L'utilisation des "stencils" isotropes classiques de discrétisation d'EDP, à 5 ou 9 points par exemple pour le laplacien 2d, peut alors poser des problèmes de précision, de performance ou de stabilité.

Nous proposons de nouveaux stencils, anisotropes, 2d et 3d, répondant à ce problème. Ils sont construits à l'aide d'un outil de géométrie discrète : les bases réduites de réseaux. Nous illustrons leur utilisation dans deux EDPs importantes en traitement de l'image. La Diffusion Anisotrope, tangentiellement aux contours d'une image, pour débruiter celle-ci sans la flouter. Les équations de Hamilton-Jacobi statiques (calculs de géodésiques et de plus courts chemins), pour la segmentation d'images médicales.