Reconstruction de formes en grandes dimensions

Dans de nombreuses situations, la forme géométrique étudiée est uniquement connue au travers d'un ensemble fini de points éventuellement bruités qui l'échantillonnent. Il est alors souhaitable, à partir de l'unique donnée de ces points, de construire un modèle informatique qui reflète à la fois la géométrie et la topologie de la forme sous-jacente échantillonnée.

Avec André Lieutier et David Salinas, nous étudions une approche pour reconstruire, qui retourne en sortie le complexe de Rips du nuage de points de paramètre r (pour un r bien choisi). Ce complexe possède la propriété d'être entièrement déterminé par le graphe de ses sommets et arêtes et possède ainsi un encodage très efficace, quadratique en le nombre de points et linéaire en la dimension de l'espace ambiant. Nos travaux donnent des conditions d'échantillonnage sous lesquelles le complexe de Rips reproduit effectivement le type d'homotopie de la forme échantillonnée.