Approximation de champ de phase pour l'énergie de Willmore

Il existe de nombreuses méthodes numériques dans la littérature qui permettent de minimiser des énergies  d'interfaces géométriques telles que le périmètre, l'énergie de Willmore-Helfrich ou l'énergie de seconde forme fondamentale totale. Ces méthodes peuvent être classifiées en trois catégories : les approches paramétriques (les interfaces sont représentées explicitement à l'aide d'une paramétrisation), les approches level sets (représentation implicite de l'interface comme une ligne de niveau zéro d'une fonction donnée) ou encore les approches de type champ de phase.  Nous nous intéresserons dans cet exposé aux méthodes de champ de phase,  dont l'idée  générique est d'approcher par Gamma-convergence les énergies géométriques surfaciques à partir d'énergies volumiques. Dans le cas particulier du périmètre, ces approches conduisent à  l'énergie de Cahn Hilliard, dont le flot de gradient de L^2 conduit à l'équation d'Allen-Cahn. Le cas de l'énergie de Willmore est plus délicat et nous nous intéresserons  en particulier  à deux énergies qui permettent d'approcher deux relaxées différentes de l'énergie de Willmore. Après avoir rappelé quelques résultats récents sur la convergence de ces deux énergies, nous présenterons des expériences numériques qui confirmeront à la fois l'efficacité des approches champ de phase mais aussi le comportement bien distinct de ces deux énergies lorsque les interfaces deviennent singulières. Ce travail est en collaboration avec Edouard Oudet et Simon Masnou.