Optimisation de forme sous contrainte de convexité

On s'intéresse ici à l'analyse de problèmes qui s'écrivent sous la forme suivante : minimiser J(K)  sur l'ensemble des convexes de R^d, où J est une fonction d'énergie définie sur les domaines de R^d.

Il s'agit d'un problème d'optimisation de forme, dont la spécificité réside dans la contrainte de convexité faite sur les domaines. Cette contrainte permet de considérer des problèmes habituellement mal posés, par exemple "quelle est la forme du domaine qui maximise le périmètre (parmi les domaines d'aire fixée par exemple) ?" (alors qu'habituellement on s'intéresse à la minimisation du périmètre).

De nombreux problèmes ouverts, issus de l'analyse fonctionnelle, de la géométrie convexe, et des EDP rentrent dans la formulation précédente ; on décrira ces exemples et quels outils on peut utiliser pour appréhender la nature géométrique des solutions. On présentera en particulier deux classes de fonctionnelles, l'une amenant à des formes optimales régulières (en dimension quelconque), l'autre à des formes optimales polygonales (en dimension 2).