Conservation de l'énergie pour la modélisation du climat : du continu au discret

La conservation de l'énergie par un modèle de circulation générale est considérée comme une contrainte importante  dans le cadre de la modélisation du climat, afin d'éviter une accumulation à long terme de petites erreurs systématiques. D'un point de vue numérique, conserver l'énergie apporte des garanties de stabilité sans qu'il soit nécessaire d'introduire de la dissipation numérique. Cette attention portée à la conservation de l'énergie, ainsi qu'à celle de la vorticié potentielle, est une constante depuis les débuts de la modélisation de la circulation générale il y a 50 ans. Aussi un certain nombre de méthodes numériques conservant l'énergie ont été obtenues, pour des équations de Saint-Venant (2D) ou les équations 3D (compressibles, hydrostatiques ou non).

Un trait "commun" frappant de ces schémas est leur caractère ad hoc, au sens où malgré certains points communs comme de se baser sur la forme dite "vector-invariant", chaque schéma dépend d'une hypothèse forte sur les diverses approximations dynamiques, le système de coordonnées, le maillage, etc.  Dans l'optique de la mise au point de modèles généralistes et flexibles, en termes d'équations résolues aussi bien que de géométrie, ceci pose problème. Aussi mon exposé portera sur des questions élémentaires sur le bilan d'énergie des équations du mouvement adiabatiques : pourquoi conservent-elle l'énergie ?  Sous quelle forme peut-on les exprimer de façon à ce cette conservation apparaisse comme une conséquence évidente ? Comment décrire l'écoulement de façon à reproduire cette forme dans un modèle numérique discret ?

Le mouvement du fluide parfait, comme celui de tout système mécanique, obéit à un principe de moindre action. Les lois de conservation dynamiques (énergie, quantité de mouvement, moment cinétique, vorticité potentielle) résultent des symétries du lagrangien. En ce qui concerne l'énergie, l'invariance par translation dans le temps permet une formulation hamiltonienne des équations du mouvement, formulation bien établie dans le cas où l'écoulement est décrit d'un point de vue soit lagrangien, soit eulérien. J'expliquerai comment l'essentiel des approximations usuelles des équations du mouvement peuvent être obtenues en agissant directement sur le lagrangien des équations d'Euler pour un fluide compressible tournant, ce qui fera de la formulation hamiltonienne des équations du mouvement la forme générale recherchée. Je montrerai comment généraliser la formulation hamiltonienne eulérienne, qui n'est autre que la forme "vector-invariant", à une coordonnée verticale non-eulérienne (coordonnée isentrope, de pression), ce qui permettra également de couvrir les équations hydrostatiques. Enfin je montrerai sur deux exemples, l'extension de LMD-Z à une atmosphère profonde et l'adoption d'un maillage horizontal icosaédrique, comment cette formulation permet un passage du continu au discret qui ne compromette pas les propriétés de conservation, et présente également des avantages conceptuels et pratiques en termes de séparation cinématique/dynamique dans un modèle généraliste.