Analyse et optimisation de la méthode de Galerkine Discontinue avec pénalité intérieure pour l'équation des ondes

La méthode de Galerkine Discontinue avec pénalité intérieure est de plus en plus employée pour la discrétisation en espace de l'équation des ondes. Comme toutes les méthodes de Galerkine Discontinue, elle permet d'obtenir des matrices de masse diagonales par blocs et donc d'utiliser des schémas de discrétisation en temps explicite, et elle est très efficace pour faire de la hp-adaptivité. De plus, elle permet de conserver une énergie et on peut démontrer sa stabilité si le paramètre de pénalisation est suffisamment élevé. Elle présente cependant plusieurs inconvénients, liés à la dépendance entre la condition de stabilité temporelle et le paramètre de pénalisation : plus le paramètre est élevé, plus la condition de stabilité CFL est restrictive. Il faut donc choisir le paramètre suffisamment grand pour garantir la stabilité globale, mais pas trop pour ne pas pénaliser la CFL et donc le pas de temps. Cependant, la valeur minimale garantissant la stabilité globale est mal connue, notamment pour des maillages non structurés. De plus, la relation entre le paramètre de pénalisation et la condition CFL n'est pas explicite. Dans cette présentation, nous montrerons comment déterminer explicitement cette relation pour des maillages cartésiens, puis nous intéresserons à l'influence du maillage sur le paramètre de pénalisation optimal.