Tessellations en T stochastiques : un modèle complètement aléatoire et ses variantes gibbsiennes

Collaboration avec Katarzyna Adamczyk-Chauvat, Radu S. Stoica et Hervé Monod

Une tessellation est une partition de l'espace. Les modèles stochastiques les plus connus sont obtenus en combinant un processus ponctuel (générant des graines) et une construction déterministe comme les diagrammes de Voronoi et de Laguerre.

Le modèle planaire que nous présenterons est, lui, basé sur un processus de droites qui sert de support aux arêtes de la tessellation. Il a la particularité géométrique de générer des tessellations avec uniquement des sommets en T, c'est à dire des sommets de degré 3 avec 2 des arêtes incidentes alignées. Les tessellations en T peuvent constituer de bonnes approximations de certains parcellaires agricoles.

Toute tessellation en T peut être construite géométriquement en combinant deux types opérateurs : les divisions et bascules. Dans un contexte stochastique, cette propriété est utilisée pour définir deux mesures de Campbell et noyaux de Papangelou. Ces derniers constituent une caractérisation conditionnelle locale de la loi d'une tessellation en T aléatoire. 

Nous introduirons alors un modèle qu'on peut considérer comme complètement aléatoire. En effet, ses noyaux de Papangelou ont une forme indiquant l'absence de dépendances spatiales. Ensuite nous proposerons une classe générale de modèles gibbsiens capables de générer des tessellations présentant certaines régularités spatiales. Le modèle de tessellation en T proposé par Arak et al. (1993) est un cas particulier de cette classe.

Un algorithme de type Metropolis-Hastings-Green sera décliné. Il est basé sur 3 opérateurs : division, fusion et bascule. Des conditions assurant la convergence en variation totale de la chaîne de Markov ainsi définie seront énoncées.

Un simulateur, sous la forme d'une bibliothèque C++ interfacée avec R, a été développé. Il est actuellement utilisé par plusieurs collaborateurs à l'INRA.

- Kiêu, Adamczyk-Chauvat, Monod, and  Stoica. A completely random T-tessellation model and Gibbsian extensions. Spatial Statistics, 6:118-138, 2013. 
- Arak, Clifford and Surgailis. Point-based polygonal models for random graphs. Advances in Applied Probability, 25:348-372, 1993.
- Papaïx, Adamczyk, Bouvier, Kiêu, Touzeau, Lannou, and Monod. Pathogen population dynamics in agricultural landscapes: The Ddal modelling framework. Infection, Genetics and Evolution, à paraître, 2014.