Une classe de schémas numériques pour les écoulements compressibles à tout nombre de Mach

Dans le cadre de la simulation numérique d'écoulements compressibles à nombre de Mach variable, nous nous intéressons à la discrétisation des équations d'Euler et Navier Stokes compressible par des schémas utilisant une discrétisation de l'équation d'énergie interne et un décentrement de la masse volumique et de l'énergie interne basé sur la vitesse matérielle. Ce décentrement permet de garantir la positivité de la masse volumique et de l'énergie interne. Dans le cas des équations d'Euler, un terme additionnel doit être présent dans l'équation de l'énergie interne discrète pour assurer la consistance au sens de Lax du schéma. En particulier, les solutions approchées ont les bonnes vitesses de choc. Ce terme additionnel est obtenu grâce à une inégalité de l'énergie cinétique discrète déduite des équations de bilan de masse et quantité de mouvement discrètes. Ces schémas ont été développés  soit en maillages colocalisés, soit en maillages décalés, chaque type de maillage présentant avantages et inconvénients. Dans le cas de maillages décalés, une attention particulière doit être portée à la discrétisation du terme de convection non linéaire, 
de manière à obtenir un bilan de masse discret sur les mailles du maillage vitesse pour l'obtention de l'énergie cinétique. 
Des tests numériques ont été effectués et montrent l'efficacité de l'approche proposée.