Reconstruction de tenseurs symétriques de faible rang par optimisation convexe

La reconstruction de matrices à partir d'observations linéaires est
un problème bien étudié et peut être résolu numériquement dans
certains cas par minimisation de la log-vraisemblance pénalisée par la
norme nucléaire. Le cas des tenseurs est apparu récemment extrêmement
utile dans de nombreuses applications et plusieurs approches ont été
proposées. Non nous intéressons au cas de tenseurs symétriques pour
lequel nous avons obtenu une caractérisation complète du
sous-différentiel de la norme nucléaire, entre autres.

Dans cet exposé, nous rappellerons, en suivant Kakade et al., comment
certains problèmes comme l'estimation de mélanges sphériques,
l'estimation de chaînes de Markov cachées ou encore l'Analyse en
Composantes Indépendantes peuvent être approchés par des problèmes de
décomposition de tenseurs symétriques. Nous ferons un panorama des
questions naturelles sur les tenseurs et la généralisation de
certaines décompositions classiques comme la SVD. Nous proposerons
aussi une méthode numérique efficace pour l'estimation pénalisée par
la norme nucléaire.