L'estimation du reach: stabilité géométrique et bornes minimax

Divers problèmes de géométrie computationnelle et d'apprentissage de variété formalisent la notion de régularité géométrique au travers du reach, un paramètre de convexité généralisée. Le reach $\\tau_M$ d'une sous-variété $M \\subset \\mathbb{R}^D$ est le rayon maximal de voisinage de $M$ dans lequel la projection sur $M$ est bien définie. Le réel $\\tau_M$ s'interprète comme une échelle minimale sur $M$ et induit des restrictions sur sa courbure ainsi que sur ses zones de quasi auto-intersection. Dans cet exposé, nous décrirons la géométrie du reach en vue de son approximation pour des sous-variétés sans bord. Un estimateur $\\hat{\\tau}$ sera proposé dans un cadre idéalisé où les espaces tangents sont connus. Nous donnerons bornes uniformes sur l'efficacité de $\\hat{\\tau}$ dans un modèle de type $\\mathcal{C}^3$ pour des nuages de points déterministes, ainsi que des bornes minimax pour le cas aléatoire. On conclura avec l'extension à un modèle où les espaces tangents sont inconnus.