New computer algebra methods for the stability and the stabilisation of classes of linear systems

Dans l'étude des systèmes dynamiques, une question importante concerne l'analyse de stabilité qui est une propriété nécessaire pour leur bon fonctionnement. Parmi les problèmes importants ayant trait à l'étude de stabilité, on peut par exemple mentionner le test de stabilité ainsi que le calcul de contrôleurs stabilisants pour des systèmes instables. Dans le cas des systèmes linéaires invariants dans le temps, en adoptant une approche fréquentielle (representation du système par fonction de transfert), la propriété de stabilité correspond à l'absence de pôles de la fonction de transfert dans certaines régions de l'espace complexe. Cette condition, certes facile à vérifier pour des systèmes de dimension finies en utilisant par exemple des critères du type routh-hurwitz, devient plus compliquée dans le cas de systèmes de dimension infinie comme les systèmes a retard ou les systèmes 2-dimensionnels. Cela conduit la plupart du temps à simplifier cette condition, au dépends de la certification du résultat obtenu. Dans cet exposé, on présentera une nouvelle approche qui permet, au moyen de techniques de calcul formel, de tester la stabilité (asymptotique, indépendante du retard et structurelle) de certaines classes de systèmes de dimension infinie, à savoir, les systèmes à retard linéaires à retards commensurables et les systèmes 2-dimensionnels linéaires et discrets. L'idée derrière cette approche consiste à d'abords transformer les conditions initiales de stabilité en des conditions algébriques. Puis, ces conditions sont vérifiées à l'aide de méthodes symboliques-numériques et d'implémentations dédiées à l'étude de zéros de systèmes algébriques, récemment développées par la communauté calcul formel et par l'orateur dans sa thèse (e.g., Representation Univariée Rationnelle, recherche de formes separantes, isolation réelle de polynômes, variétés discriminante, méthodes de points critiques). En utilisant ces même techniques, on présentera également une méthode pour calculer de manière effective des contrôleurs stabilisant de tel systèmes. Enfin, on illustrera nos méthodes sur quelques exemples pratiques explicites.