Jeux à Champ Moyen Variationnels

Je donnerai une courte introduction au sujet émergent des Jeux à Champ Moyen (Mean Field Games, MFG), introduit par J-M Lasry et P-L Lions il y a une dizaine d'années comme modèle pour l'équilibre d'une population d'agents, chacun cherchant à choisir sa trajectoire optimale selon un critère qui inclut un coût de congestion dépendant de la densité d'agents qu'il rencontre. Ceci donne lieu à un système couplé d'EDP : une équation de continuité où la densité est advectée par le gradient d'une fonction valeur, et une équation d'Hamilton-Jacobi sur la fonction valeur, qui fait apparaître aussi la densité.
Je me concentrerai sur le cas où la condition d'équilibre est la condition d'optimalité d'un problème variationnel convex, et présenterai les résultats principaux dans ce cadre. En particulier, je montrerai des résultats de régularité et le lien avec le transport optimal (surtout avec la formulation dynamique donnée par J-D Benamou et Y Brenier et très exploitée numériquement). A la fin de l'exposé je montrerai une variante intéressante, où le coût de congestion est remplacé par une contrainte sur la densité.