Noisy Hamiltonian Monte Carlo for doubly intractable distributions

Les méthodes de Monte Carlo hybrides (HMC) sont apparues au cours des dernières années comme une alternative efficace aux algorithmes de Metropolis Hastings lorsque ceux-ci échouent à explorer efficacement la loi cible. Ces méthodes consistent à générer une chaîne de Markov sur un espace augmenté et dont les transitions reposent sur un système d'équations différentielles issu de la mécanique hamiltonienne. En pratique, ce système n'admet pas de solution explicite et une étape de discrétisation via un intégrateur symplectique est nécessaire. Cette discrétisation du flot hamiltonien conduit à une solution approchée qui ne préserve plus la loi cible comme mesure invariante, et une étape d'acceptation-rejet est donc utilisée au sein de l'algorithme pour corriger ce biais. Dans le contexte de distributions dites doublement insolubles -- comme par exemple les champs de Markov (e.g., modèle de Potts, modèles de graphes aléatoires ERGM), HMC rencontre deux difficultés computationnelles majeures : le calcul du gradient intervenant dans le flot hamiltonien et l'étape d'acceptation-rejet. Dans cette présentation, je décrirai le comportement de l'algorithme HMC dans ce contexte particulier lorsque les différentes étapes sont approchées par des estimateurs Monte Carlo et discuterai brièvement des questions de calibrations. J'illustrerai cela sur deux exemples : le modèle de Potts et un modèle de type ERGM.