Un modèle "phase field" pour la propagation de fractures hydrauliques dans un milieu poroélastique non-linéaire

Dans cet exposé, nous présentons un modèle « phase field » pour la propagation de fractures hydrauliques dans un milieu poroélastique non linéaire. Nous considérons un système totalement couplé où le champ de pression est déterminé simultanément avec le déplacement et l'inconnue « phase field ». Le modèle mathématique consiste en un système d'élasticité linéaire, avec des modules d'élasticité évanescents à mesure que la fissure se développe, 
couplé à une inégalité variationnelle pour le phase field et à l'équation de conservation de la masse pour la pression. Toutes les équations contiennent l'inconnue « phase field » dans les coefficients. La porosité est calculée à partir de l'équation de continuité pour le squelette solide et la perméabilité dépend de la porosité. La contrainte convexe de l'inégalité variationnelle assure l'irréversibilité et la compatibilité avec la thermodynamique de la formation de fissure. Nous établissons l'existence d'une solution au problème incrémental. De plus, nous construisons la fonctionnelle de Lyapunov correspondante, qui est lié à l'énergie libre du système, et montrons la stabilité de la discrétisation en temps. Résultats de simulations numériques seront présentés, qui démontrent l'efficacité de l'approche phase field, dans la simulation de la propagation de fractures hydrauliques.

C'est un travail en collaboration avec C.J. van Duijn (Centre Darcy Eindhoven-Utrecht), M. F. Wheeler (University of Texas at Austin) et T. Wick (Université de Hanovre).

Références :

[1]  C.J. van Duijn, A. Mikelic,  T. Wick, A monolithic phase-field model of a fluid-driven fracture in a nonlinear poroelastic medium,  Mathematics and Mechanics of Solids, Vol.  24 (5) (2019), 1530--1555.

[2] C. J.  van Duijn, A. Mikelic, M. F. Wheeler, Th. Wick, Thermoporoelasticity via homogenization I. Modeling and formal two-scale expansions, accepté pour publication dans Internat. J Engrg Sci., 2019, doi:10.1016/ j.ijengsci.2019.02.005.