Effect of curvature on the Empirical Fréchet mean estimation in manifolds

En anatomie computationnelle, on s'intéresse à  la moyenne et aux variations de la forme des organes dans une population de manière à décrire et à quantifier la diversité des formes et de leurs évolutions normales ou pathologiques. Ces objets géométriques appartiennent en général à des espaces non-linéaires. Dans le cas des variétés Riemanniennes et des espaces à  connexion affine, la notion de géodésique permet de redéfinir la moyenne comme l'ensemble des points minimisant la somme du carré des distances aux observations (moyenne de Fréchet) ou comme un barycentre exponentiel. 

Pour l'inférence statistique, l'incertitude de l'estimation de cette moyenne empirique est une question clef. Dans des conditions de concentration suffisante des échantillons, un théorème limite central dans les variétés a été obtenu par Bhattacharya & Patrangenaru en 2005. Nous avons récemment établi un développement asymptotique qui met plus clairement en évidence la modulation par la courbure de la vitesse de convergence de la moyenne empirique. Nous avons également établi un développement non-asymptotique en forte concentration qui montre quant à  lui un biais statistique de l'estimation dans la direction moyenne du gradient de la courbure. Ces effets de la courbure deviennent importants en cas de forte courbure et peuvent changer drastiquement l'estimation. Ils pourraient ainsi expliquer dans certain cas les moyennes dites collantes (« sticky means») qui ont récemment été mises en évidence et étudiées dans les espaces stratifiés, notamment pour les variétés à  coins en courbure négative. 

Références 	

Xavier Pennec. Curvature effects on the empirical mean in Riemannian and affine Manifolds: a non-asymptotic high concentration expansion in the small-sample regime. ARXIV preprint 1906.07418, June 2019.

Xavier Pennec, Stephan Sommer, and Tom Fletcher. Riemannian Geometric Statistics in Medical Image Analysis. 636 p. Academic Press, September 2019.