Well-posedness of McKean-Vlasov SDEs, related PDE on the Wasserstein space and some new quantitative estimates for propagation of chaos.

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Séminaire Données et Aléatoire Théorie & Applications

14/02/2020 - 14:00 Mr Noufel Frikha (Université Paris VII, Denis Diderot) Salle 106 - Batiment IMAG

Dans cet exposé, je présenterai quelques résultats récents sur le caractère bien posé de certaines équations différentielles stochastiques (EDS) non-linéaires au sens de McKean-Vlasov dirigées par un mouvement Browien et/ou un processus à sauts. Ces résultats sortent du cadre (aujourd'hui bien compris) de la théorie de Cauchy-Lipschitz (c.f. le cours de St Flour de AS Sznitman) pour ces équations dans la mesure où les coefficients du sytème sont irréguliers. Je donnerai également quelques exemples d'application de ces systèmes, notamment en mathématiques financières. Dans le cas où l'EDS est dirigée par un mouvement Brownien, je montrerai comment le bruit régularise le système et permet de prouver que la densité de transition du système existe et est régulière, notamment par rapport à la mesure initiale, sous une hypothèse d'uniforme ellipticité. Je ferai le lien entre cet effet régularisant et l'équation aux dérivées partielles rétrograde de Kolmogorov posée sur l'espace de Wasserstein, i.e. l'espace des mesures de probabilités de moment d'ordre 2 fini. Finalement, je donnerai quelques nouveaux résultats de propagation de chaos pour l'approximation d'une telle equation par son sytème de particules en interaction en montrant le rôle clef joué par l'EDP mentionnée précédemment.
 Cette présentation est basée sur des récents travaux en collaboration avec: P.-E. Chaudru de Raynal (Université Savoie Mont Blanc), V. Konakov (HSE Moscou), L. Li (UNSW Sydney) and S. Menozzi (Université d'Evry Val d'Essone).