Evitement de la frontière pour des systèmes stochastiques contrôlés

Tirant sa motivation des résultats d'invariance de [1] concernant les ouverts à frontière régulière et de la multi-stabilité des réseaux de gènes (cf. [3]), cet exposé se propose d'aborder trois problèmes intimement liés.

Premièrement, nous étudions, dans un cadre déterministe non-contrôlé, la régularité des modules de continuité permettant d'envisager l'invariance des ensembles ouverts.

Deuxièmement, nous donnons un résultat d'évitement de la frontière (presque-viabilité) généralisant [1] au cadre des systèmes Browniens contrôlés. La même méthode s'applique à d'autres types de stochasticité (par exemple des systèmes déterministes par morceaux et à switch Markovien). Les méthodes sont basées sur des schémas d'approximation permettant de traiter les discontinuités ainsi que sur la théorie des solutions de viscosité. Nous discuterons également la nécessité de la continuité Lipschitz des coefficients.

Troisièmement, en appliquant les résultats théoriques au modèle de Hasty pour le phage lambda (cf. [3], [2]), nous mettons en évidence la nécessité de modélisation explicite du signal environnemental déclenchant la lyse.

Mots-clef :

invariance, viabilité, solutions de viscosité, diffusion Brownienne, processus Markovien déterministe par morceaux, réseaux de gènes.

Bibliographie :

[1]  P. Cannarsa, G. Da Prato, and H. Frankowska. Invariant measures associated to degenerate elliptic operators. Indiana University Mathematics Journal, 59(1):53-78, 2010.

[2]  A. Crudu, A. Debussche, and O. Radulescu. Hybrid stochastic simplifications for multiscale gene net- works. BMC Systems Biology, page 3:89, 2009.

[3]  J. Hasty, J. Pradines, M. Dolnik, and J.J. Collins. Noise-based switches and amplifiers for gene expression. PNAS, 97(5):2075-2080, 2000.

[4] N. V. Krylov. On the rate of convergence of finite-difference approximations for Bellman's equations with variable coefficients. Probab. Theory Related Fields, 117(1):1-16, 2000.