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Intervalos de confianza

La idea de la estimación por intervalo de confianza es definir, alrededor de la media empírica, un intervalo aleatorio (que depende de $n$ experimentos) que contiene a $\mu$ con una probabilidad alta. La longitud de este intervalo es la que mide la exactitud de la estimación.

Teorema 4.3   Sea $(X_n), n\in \mathbb {N}^*$ una sucesión de variables aleatorias independientes con una misma ley, de esperanza $\mu$ y varianza $\sigma^2$ ambas finitas. Para todo $n\in\mathbb {N}$ denotemos por:

$$\overline X_n = \frac{X_1+\cdots +X_n}{n}\;,\quad S_n^2 = \frac{X_1^2+\cdots +X_n^2}{n} - \overline X_n^2$$   y$$\quad S_n = \sqrt{S_n^2} \;.$$

Sea $\alpha$ un número real $>0$ (pequeño). Sea $z_\alpha$ el número real $>0$ tal que:

$$\int_{-z_\alpha}^{+z_\alpha}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx =1-\alpha \;.$$

Denotemos:

$$\begin{array}{cclcccl} T_1& =& \overline X_n- \displayst... ...\displaystyle{\frac{z_\alpha S_n }{\sqrt{n}}}\;. \end{array}$$

Entonces:

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\, \mathbb {P}[\,\mu\in[T_1,T_2]\,] \;... ...ightarrow \infty} \mathbb {P}[\,\mu\in[T'_1,T'_2]\,] \;=\; 1-\alpha \, \;.$$

Se dice que los intervalos aleatorios $[T_1,T_2]$ y $[T'_1,T'_2]$ son intervalos de confianza para $\mu$, de nivel de confianza asintótico $1-\alpha$.

Interpretación:

Como el valor de $\mu$ es desconocido no hay ninguna razón a priori para que la desviación estándar $\sigma$ sea conocida. Si es desconocida, se la estima por la desviación estándar empírica $S_n$. Esta es la razón por la cual damos dos intervalos de confianza. El valor de $z_\alpha$ se obtiene a partir de un módulo de cálculo numérico. Los valores más usados son los siguientes:

$$\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert} \hline \alpha &... ... 0.05 \\ \hline z_\alpha & 2.5758 & 2.3263 & 1.96 \\ \hline \end{array}$$

Los intervalos $[T_1,T_2]$ y $[T'_1,T'_2]$ son aleatorios. Como resultado de la sucesión de experimentos , $T_1$ y $T_2$ habrán tomado valores particulares $t_1$ y $t_2$. No se podrá decir que la probabilidad de que $\mu$ pertenezca a $[t_1, t_2]$ es de $1-\alpha$. Tanto $\mu$ como $t_1$ y $t_2$ son números reales fijos y el resultado $\mu\in [t_1,t_2]$ será verdadero o falso, pero no dependerá ya del azar. Lo que podremos decir es que este encuadre (de $\mu$ entre $t_1$ y $t_2$) se obtiene como resultado de un experimento que tenia un porcentaje alto de posibilidades de dar un resultado verdadero. Para $\alpha =0.01$, si repetimos $100$ veces la serie de $n$ experimentos para obtener $100$ intervalos, podemos esperar que uno de ellos sea falso. Hay que ver un intervalo de confianza como una precisión que se da del valor estimado de $\mu$:

$$\mu =\overline X_n \pm \frac{z_\alpha \sigma }{\sqrt{n}}$$   ó$$\qquad \mu =\overline X_n \pm \frac{z_\alpha S_n }{\sqrt{n}}\;.$$

Estimación de una probabilidad.

Supongamos que el valor que hay que estimar sea la probabilidad $p$ de un evento. Se realizan una serie de experimentos independientes anotando, cada vez, si el evento se realiza ($1$) o no (0). La variable aleatoria correspondiente a el $n$-ésimo experimento se denota por $X_n$. Las $X_n$ siguen la ley de Bernoulli de parámetro $p$:

$$\mathbb {P}[X_n=0]=1\!-\!p\;,\quad \mathbb {P}[X_n=1]=p\;,$$

$$\mu =\mathbb {E}[X_n]=p$$   y$$\quad \sigma^2 =Var[X_n]=p(1\!-\!p)\;.$$

La suma $X_1+\cdots +X_n$ (número de veces que sucedió el evento en los $n$ experimentos) sigue la ley binomial ${\cal B}(n,p)$. La media empírica $\overline X_n$ de la muestra es en este caso la frecuencia experimental del evento. La varianza empírica $S_n^2$ es igual a $\overline X_n(1-\overline X_n)$. Podemos observar en este caso que la varianza y la varianza empírica están acotadas por $1/4$.

Volvamos a la experiencia de la aguja de Buffon. Esta consiste en lanzar al azar una aguja sobre un parqué. Si el ancho de las láminas de madera es igual a la longitud de la aguja, hemos visto que la probabilidad (teórica) para que la aguja caiga sobre 2 láminas a la vez es $2/\pi$. Supongamos que repetimos el experimento $n$ veces, físicamente o por simulación. Como resultado de las $n$ repeticiones obtenemos un valor para la frecuencia experimental $\overline X_n$ y por tanto un intervalo de confianza $[T_1,T_2]$. El intervalo $[2/T_2,2/T_1]$ es también un intervalo de confianza para el valor de $\pi$. He aquí , por ejemplo, un resultado obtenido con $n=10^6$ experimentos.

$$\overline X_n=0.636438\;,\; \frac{2n}{\overline X_n}=3.14249\;.$$

Para $\alpha =0.01$ ( $z_\alpha=2.5758$) y $\alpha=0.05$ ( $z_\alpha=1.96$), los intervalos de confianza de nivel $1\!-\!\alpha$ para la probabilidad son respectivamente:

$$[0.6352\,;\,0.6377]\;$$ y $$\;[0.6355\,;\,0.6374]\;.$$

Ellos corresponden a los intervalos siguientes para $\pi$ :

$$[3.1364\,;\, 3.1486]\;$$ y $$\;[3.1378\,;\, 3.14715]\;.$$

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